普遍性

普遍性（universality / universal property）

数学、特に圏論において、「普遍性」とは、ある特定の状況下で、目的の構成（例えば、特定の代数的構造を持つ対象や位相空間など）へ、あるいはそこから、ただ一つの射（構造を保つ写像）が存在することを保証する抽象的な性質を指します。この性質は、その構成が持つ本質的な特徴を捉え、同型を除いて一意に定まることを保証します。

普遍性の概念は、数学の多くの分野で個別に現れる様々な構成（直積、直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化、自由対象、核、余核、極限、余極限、アーベル化、引き戻し、押し出し、ストーン－チェックのコンパクト化など）に共通する構造を明らかにするものです。これらの構成は一見バラバラに見えますが、普遍性という統一的な視点から捉え直すことができます。

このような普遍性の横断的な議論は、1948年にピエール・サミュエルが試み、その後ブルバキによって体系的に広められたとされています。

圏論における定義

普遍性は圏論の言葉で定式化されることで、その強力な性質が明確になります。

普遍射（Universal Morphism）

圏Dから圏Cへの関手U: D → Cと、圏Cの対象Xを考えます。このとき、XからUへの普遍射は、Dの対象AとCの射 φ: X → U(A) の対 (A, φ) であり、以下の性質を満たすものです。

任意のDの対象YとCの射 f: X → U(Y) に対して、Dの射 g: A → Y がただ一つ存在し、U(g) ∘ φ = f となる（図式が可換となる）。

図式:

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flowchart LR
X -->|φ| U(A);
X -->|f| U(Y);
U(A) -->|U(g)| U(Y);
U(g) text(U(g) ∘ φ = f is commutative) > U(Y);


この定義における射gの存在は、対 (A, φ) が「十分に一般的」であることを示唆し、一方、その一意性は「過度に一般的ではない」ことを意味します。さらに、この普遍性は、対象Yに関するHom集合間に自然な同型

$$Hom_{D}(A,Y)\cong Hom_{C}(X,U(Y))$$

が存在することと同値です。

双対（余普遍射）

上記の定義において、すべての射の向きを逆にすることで、圏論的な双対が得られます。UからXへの普遍射は、Dの対象AとCの射 φ: U(A) → X の対 (A, φ) であり、以下の性質を満たします。

任意のDの対象YとCの射 f: U(Y) → X に対して、Dの射 g: Y → A がただ一つ存在し、φ ∘ U(g) = f となる（図式が可換となる）。

図式:

mermaid
flowchart LR
U(A) -->|φ| X;
U(Y) -->|f| X;
U(Y) -->|U(g)| U(A);
U(A) text(φ ∘ U(g) = f is commutative) > X;


文脈によっては、一方を普遍射、もう一方を余普遍射（co-universal property）と呼び分けることがありますが、どちらがどちらを指すかは慣習によります。

表現可能関手との関係

普遍性は、表現可能関手の概念を用いてより洗練された形で捉えることもできます。エミリー・リールは著書『Category Theory in Context』において、圏Cの対象cの普遍性を、表現可能関手F: C → Set（集合の圏への関手）と、米田の補題によって定まる自然同型 C(c, _) ≅ F または C(_, c) ≅ F を与える「普遍要素」x ∈ Fc によって表現される性質と定義しています。

これは、対象cが特定の関手Fを「表現」しているという状況です。前節で述べた普遍射も、この普遍要素の定義の特別な場合として理解できますし、逆に普遍要素も普遍射の特別な場合と見なすことができます。

具体例

ベクトル空間のテンソル積

体K上のベクトル空間VとWのテンソル積 V⊗W は、その普遍性によって特徴づけられます。すなわち、任意のベクトル空間Xと双線形写像 f: V × W → X に対して、ただ一つの線形写像 f': V⊗W → X が存在して f = f' ∘ g を満たすような、ベクトル空間 V⊗W と双線形写像 g: V × W → V⊗W の組が存在します。この組は同型を除いて一意です。

この性質は、VectK（K-ベクトル空間の圏）からSetへの関手 Bilin(V, W; _), X ↦ Bilin(V, W; X)（V×WからXへの双線形写像全体の集合）が、V⊗Wによって表現される（すなわち VectK(V⊗W, _) ≅ Bilin(V, W; _) という自然同型が存在する）という形で捉えられます。カノニカルな双線形写像 g は、この同型を通じて VectK(V⊗W, V⊗W) の恒等射に対応する普遍要素です。

剰余群への射影

群Gの正規部分群Kによる剰余群 G/K への射影 φ: G → G/K も普遍性を持つ例です。群準同型 f: G → H が与えられたとき、Kがfの核Ker fに含まれるならば、群の準同型定理により、ただ一つの群準同型 h: G/K → H が存在して f = h ∘ φ となります。

これは、Ker f ⊂ K を満たす GからHへの群準同型全体の集合をFHとする対応が定める関手F: Grp → Set が、剰余群 G/K によって表現される（Grp(G/K, _) ≅ F）という形に定式化できます。射影 φは、この表現を与える普遍要素にあたります。

ファン・カンペンの定理

位相空間 X が2つの開集合UとVの和 X = U ∪ V であるとき、包含写像 i: U∩V → U, j: U∩V → V, i': V → X, j': U → X が定める図式は、位相空間の圏Topにおいて普遍性を持つ場合があります。より具体的には、連続写像 f: U → Y と g: V → Y が f ∘ i = g ∘ j を満たすとき、これらを「貼り合わせる」連続写像 h: X → Y がただ一つ存在して f = h ∘ j' かつ g = h ∘ i' となる性質です。

図式:

mermaid
flowchart LR
U_V[U ∩ V] -->|i| U;
U_V[U ∩ V] -->|j| V;
U -->|j'| X;
V -->|i'| X;
U -->|f| Y;
V -->|g| Y;
X -->|h| Y;

i' - text(Commutative) - j';
f - text(f ∘ i = g ∘ j) - g;
j' - text(f = h ∘ j') - h;
i' - text(g = h ∘ i') - h;


十分によい条件下（例えばU∩Vが空でなく弧状連結など）では、この構成から誘導される基本群のなす図式も同様の普遍性を持つことが知られており、これをファン・カンペンの定理と呼びます。

随伴関手との関係

普遍性の概念は、圏論における重要な概念である随伴関手と密接に関連しています。もし、圏Cの全ての対象Xに対して、U: D → CへのXからの普遍射 (A_X, φ_X: X → U(A_X)) が存在するならば、この対応 X ↦ A_X と、普遍性によって定まる射の対応 h: X1 → X2 ↦ g: A_X1 → A_X2 は、圏Cから圏Dへの関手V: C → Dを定義します。このとき、関手Vは関手Uの左随伴関手となります（UはVの右随伴）。

同様に、圏Cの全ての対象Xに対して、UからのXへの普遍射が存在するならば、Uは、普遍的構成によって得られる関手の左随伴となります。

実際、全ての随伴関手の対 (F, G) は、このような普遍的な構成から生じます。例えば、FがGの左随伴であるとき、圏Cの任意の対象Xに対して、(F(X), η_X: X → G(F(X))) はXからGへの普遍射となります（ηは随伴の単位射）。逆に、圏Dの任意の対象Yに対して、(G(Y), ε_Y: F(G(Y)) → Y) はFからYへの普遍射となります（εは随伴の余単位射）。

このように、普遍的構成は、ある種の「最適化問題」と見なすことができ、その問題が対象の族全体に対して解を持つときに、随伴関手というより大きな構造が現れると理解できます。普遍性によって説明できます。

普遍性の概念は、個別の数学的構成の背後にある普遍的なパターンを抽出し、異なる分野間の関連性を示す強力なツールとなっています。

（参考文献はInputに基づきますが、記事本体には含めません）

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