コーシーの冪根判定法

コーシーの冪根判定法：無限級数の収束性を判定する強力なツール

コーシーの冪根判定法は、無限級数の収束性を調べるための重要な方法です。特に、冪級数の収束半径を求める際に威力を発揮します。この判定法は、19世紀の著名な数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって発見されたことから、その名が付きました。

判定法の概要

無限級数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)の収束性を調べるために、以下の極限を考えます。

$\qquad C = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} $

ここで、\(\limsup\)は上極限を表します。この値Cを用いて、級数の収束性を判定します。

C < 1: 級数は収束する。
C > 1: 級数は発散する。
* C = 1: この判定法では収束・発散の判定ができない。

冪級数への応用：収束半径の決定

コーシーの冪根判定法は、冪級数の収束半径を求める際に特に有用です。中心cの周りの冪級数

$\qquad \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - c)^n$

を考えます。この冪級数の係数\(a_n\)に対して、上記のCを計算すると、冪級数の収束半径Rは、

$\qquad R = \frac{1}{C} $

となります。Cが0の場合は収束半径は無限大と解釈します。

証明：比較判定法によるアプローチ

コーシーの冪根判定法の証明は、比較判定法に基づいて行われます。

まず、ある自然数Nが存在し、すべてのn≧Nに対して\(\sqrt[n]{|a_n|} < k < 1\)を満たすkが存在すると仮定します。このとき、\(|a_n| < k^n\)が成り立ちます。幾何級数\(\sum_{n=0}^{\infty} k^n\)はk<1なので収束します。したがって、比較判定法により、\(\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|\)も収束し、もとの級数は絶対収束します。

逆に、ある自然数Nが存在し、すべてのn≧Nに対して\(\sqrt[n]{|a_n|} > 1\)ならば、\(|a_n| > 1\)となり、\(\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|\)は発散します。よって、もとの級数も発散します。

まとめ

コーシーの冪根判定法は、無限級数の収束性を判定するための簡潔で強力なツールです。特に冪級数においては、収束半径を直接求めることができるため、非常に重要な役割を果たします。この判定法は、比較判定法に基づいた厳密な証明を持ち、数学における解析学の基礎をなす重要な定理の一つです。様々な級数の収束性を調べる際に、ぜひ活用してみてください。

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