収束半径

冪級数の収束半径

冪級数とは、無限個の項の和で表される級数のことであり、その収束性は級数の性質を理解する上で非常に重要です。 冪級数の収束性を示す指標として「収束半径」があります。収束半径は、級数が収束する複素平面上の領域の大きさを表す非負の実数（または∞）です。

収束半径の定義

中心 a、係数 cn を持つ次の冪級数を考えます。

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-a)^n$

ここで、z は複素数です。この冪級数の収束半径 r とは、以下の条件を満たす非負の実数（または ∞）です。

$|z - a| < r$ のとき、級数は収束する。
$|z - a| > r$ のとき、級数は発散する。

全ての z で収束する場合、収束半径は ∞ となります。収束半径 r の円盤 $|z - a| < r$ を収束円盤と呼びます。

収束半径の求め方

収束半径を求める方法はいくつかあります。代表的な方法として、コーシーの冪根判定法とダランベールの収束判定法が挙げられます。

1. コーシーの冪根判定法

$C = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}$ とすると、収束半径 r は $r = 1/C$ となります。 $C = 0$ の場合は $r = \infty$ となります。この場合、級数は複素平面全体で収束し、f(z) は整関数となります。

2. ダランベールの収束判定法

ある自然数 m が存在し、m < n となるすべての自然数 n について $c_n
eq 0$ であるとき、以下の極限が存在すれば、

$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$

収束半径 r は $r = 1/L$ となります。ダランベールの判定法は、コーシーの判定法よりも計算が容易な場合が多いですが、極限 L が存在しない場合もあります。そのような場合は、コーシーの冪根判定法を用いる必要があります。

3. 優級数による評価

係数 $c_n$ が具体的に求まらない場合、既知の収束半径を持つ級数（優級数）を用いて収束半径を評価することができます。 適切な優級数を見つけることができれば、その収束半径から元の級数の収束半径の上限や下限を求めることができます。

複素関数の場合

複素関数 $f(z)$ を複素数 $z_0$ を中心としたテイラー展開した場合、その収束半径は $z_0$ から最も近い特異点（微分不可能な点）までの距離に等しくなります。言い換えれば、収束円盤の境界上には必ず特異点が存在します。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大となります。

まとめ

収束半径は、冪級数の収束性を調べる上で重要な概念です。その求め方は、コーシーの冪根判定法、ダランベールの収束判定法、優級数による評価など、いくつかの方法があります。特に複素関数の場合、収束半径は特異点との距離に密接に関連しており、複素解析において重要な役割を果たします。

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