コーシーの積分公式

コーシーの積分公式：複素関数解析の礎石

コーシーの積分公式は、複素解析において中心的な役割を担う定理です。フランスの数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって示されたこの公式は、単連結領域で正則な関数の値を、その領域内の閉曲線に沿った周回積分で表現できます。この公式は、正則関数の性質を深く理解し、様々な問題を解く上で強力なツールとなります。

公式の記述

まず、コーシーの積分公式を数学的に記述しましょう。Dを複素平面上の単連結領域、CをD内の単純閉曲線、そしてf(z)をD上で正則な関数とします。Cによって囲まれた領域内の任意の点aに対して、以下の式が成立します。

math
f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz


この式は、点aにおける関数の値f(a)が、閉曲線C上の関数f(z)の積分によって表現できることを示しています。ここで、積分は反時計回りに計算されます。

高階導関数の表現

さらに、コーシーの積分公式は関数の高階導関数も表現できます。上記の公式において、aをzに置き換え、積分変数をζに置き換えると、以下のようになります。

math
f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta


この式に対して、差分商を用いた極限操作を繰り返すことで、n階導関数の表現を得ることができます。その結果、以下の式が導かれます。

math
f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{ (\zeta - z)^{n+1} } d\zeta


この式は、正則関数が無限回微分可能であることを示唆しています。これは実関数の場合とは大きく異なる性質です。

具体的な例題

コーシーの積分公式の適用例として、具体的な関数を考えましょう。関数g(z)を以下のように定義します。

math
g(z) = \frac{z^2}{z^2 + 2z + 2}


積分経路Cを|z| = 2（半径2の円）とします。この関数g(z)は、z^2 + 2z + 2 = 0の解、つまりz = -1 ± iを極として持ちます。これらの極は、積分経路Cの内側に位置しています。

コーシーの積分定理を用いて、この積分を計算します。まず、g(z)を部分分数分解し、それぞれの極周りの積分をコーシーの積分公式を用いて評価します。最終的に、積分値は-4πiとなります。

まとめ

コーシーの積分公式は、複素関数の解析において、関数の値や導関数を周回積分によって求める強力なツールです。この公式は、正則関数の性質を深く理解し、様々な応用問題を解くために不可欠なものです。本稿では、公式の記述、高階導関数の表現、そして具体的な例題を通して、その有用性と重要性を解説しました。さらに理解を深めるには、複素解析に関する専門書を参照することをお勧めします。

もう一度検索