複素平面

複素平面：複素数の幾何学的表現

複素平面、あるいはガウス平面とは、複素数を平面上の点として表現する幾何学的な手法です。それぞれの複素数の実部と虚部を、平面上のx座標とy座標に対応させることで、複素数の演算を視覚的に理解しやすくなります。

実軸と虚軸

複素平面は、水平方向の実軸と垂直方向の虚軸から構成されます。実軸は複素数の実部、虚軸は複素数の虚部に対応しています。例えば、複素数 z = 3 + 2i は、実軸上の3の位置と虚軸上の2の位置を結んだ点として表現されます。

歴史

複素平面の概念は、カール・フリードリヒ・ガウスによって1811年頃に導入されたため、ガウス平面と呼ばれることが多いです。しかし、ガウス以前にもJean-Robert Argand（1806年）やCaspar Wessel（1797年）が同様のアイデアを発表していたことが知られています。これらの数学者たちの貢献を反映して、ガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などと呼ばれることもあります。特にガウスは、複素平面を用いて正十七角形が定規とコンパスで作図できることを証明しており、複素平面の数学における重要性を示しました。今日、大学レベルの数学書では「複素平面」または「ガウス平面」が主流の呼称となっています。一方、日本の高等学校の学習指導要領では「複素数平面」が用いられています。

複素数の演算と幾何学的解釈

複素平面を用いることで、複素数の演算を幾何学的な操作として解釈することができます。

加法と減法: 複素数の加法と減法は、平面上のベクトル和とベクトル差に対応します。
実数倍: 複素数を実数倍する操作は、原点からのベクトルを拡大または縮小することに対応します。
乗法: 複素数の乗法は、絶対値の積と偏角の和に対応します。これは、複素数平面上で、原点を中心とした回転と拡大縮小の操作と等価です。
除法: 複素数の除法は、絶対値の商と偏角の差に対応します。これは、複素数平面上で、原点を中心とした回転と縮小の操作と等価です。

極形式とオイラーの公式

複素数は、直交座標表示 (x + yi) の他に、極形式 (r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ)) で表現することができます。ここで、r は複素数の絶対値、θ は偏角です。オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を用いることで、極形式は簡潔に表現できます。極形式を用いることで、複素数の乗法や除法が、絶対値の乗除と偏角の加減算という簡単な操作として理解できます。

複素平面の拡張：リーマン球面

複素数全体 C に無限遠点を付け加えたものを、リーマン球面と呼びます。リーマン球面は2次元球面 S2 と同相であり、複素平面をコンパクト化した空間として扱われます。リーマン球面では、複素数のアフィン変換は一次分数変換に対応します。

複素平面の数学的性質

複素平面は、以下の数学的な性質を持っています。

実数体 R 上の2次元線形空間: (1, i) は基底となります。
乗法的ノルム線型空間: 複素数の絶対値によってノルムが定義されます。
* 完備距離空間: 距離関数 d(z1, z2) = |z1 - z2| について完備です。この性質は代数学の基本定理の証明に用いられます。

まとめ

複素平面は、複素数の幾何学的解釈を可能にし、複素数の演算を視覚的に理解するための強力なツールです。複素解析をはじめ、様々な分野で活用されており、数学の重要な概念の一つです。

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