コーシー分布

コーシー分布

コーシー分布（Cauchy distribution）は、連続的な確率分布の一つで、特に物理学や統計学において重要な役割を果たしています。この分布の名前は、19世紀のフランスの数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来しています。性質上、この分布は平均値や分散が定義されない特殊な性質を持っています。

確率密度関数

コーシー分布の確率密度関数は次の式で表されます。

$$
f(x; x_0, \\gamma) = \frac{1}{\pi \gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]}
$$

ここで、$x_0$は分布の最大値が位置する点を示す位置母数、$
\gamma$は分布の幅を示す尺度母数です。この分布は、特に$
x_0 = 0$かつ$
\gamma = 1$の時、標準コーシー分布として特別な形を示します。

$$
f(x; 0, 1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}
$$

性質

累積分布関数

コーシー分布の累積分布関数は次のようになります。

$$
F(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi} \arctan \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right) + \frac{1}{2}
$$

特性関数

コーシー分布の特性関数は、分布に従う確率変数$X$の特性関数として次のように定義されます。

$$
\phi_X(t; x_0, \gamma) = \mathrm{E}(e^{iXt}) = e^{ix_0 t - \gamma |t|}
$$

この特性関数は、コーシー分布が持つ独自の性質を示し、特に関心が高いトピックの一つです。

再生性

コーシー分布の興味深い性質の一つは、分布に従う独立な確率変数の算術平均もまた同様のコーシー分布に従うという再生性です。つまり、複数のコーシー分布に従うデータを平均しても、その結果は依然としてコーシー分布の形状を保つのです。

期待値と分散

コーシー分布の特異な性質の一つは、期待値と分散が定義できないことです。これは分布の形状が非常に尖っており、特に両端に広がりが見られるためです。従って、中央値や最頻値は定義可能ですが、標準的な期待値や分散を用いることはできません。この特性により、コーシー分布に従うデータの算術平均や母集団の特性は、極端な値が影響しやすいことを示しています。

物理学における利用

コーシー分布は、特に物理学の分野においても多くの応用があります。ブライト・ウィグナー分布や共鳴を表す際のモデルとして用いられ、共鳴エネルギーの特性を記述するための重要な道具として位置付けられています。これにより、相対論的な文脈でも役立つ知識を基にした理解が深まります。

おわりに

コーシー分布はその特殊な性質から、統計学や物理学の根幹に関与する不可欠なツールとなっています。理解と解析が求められる分布のため、研究者らはその特性を探求し続けています。

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