シェルピンスキー数

シェルピンスキー数

シェルピンスキー数（Sierpinski number）は、全ての自然数 n に対して、式 k × 2ⁿ + 1 が合成数となる正の奇数 k のことを指します。ここで合成数とは、素数でない2以上の整数を指します。具体的には、k がシェルピンスキー数である場合、次の集合の要素は全て合成数になります。

$$
\{ k \times 2^{n} + 1 : n \in \mathbb{N} \}
$$

この概念は1960年に、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキによって提唱され、全ての n に対してこの式が決して素数にならない k の存在が無限にあることが証明されました。さらに1962年には、数学者ジョン・セルフリッジが具体的なシェルピンスキー数78557を発見しました。この数に基づいて生成される数列 Sn = 78557 × 2ⁿ + 1 はすべて合成数であることが示されました。例えば、n が偶数の場合、Sn は3で割り切れ、他の条件でもそれぞれ異なる素数で割り切れることがわかっています。

知られているシェルピンスキー数

78557に続くシェルピンスキー数の例として、以下の数が知られています。

• - 271129
• - 271577
• - 322523
• - 327739
• - 482719
• - 575041
• - 603713
• - 903983
• - 934909

これらの数はオンライン整数列大辞典の数列 A076336にて参照できます。

シェルピンスキーの問題

78557が確かにシェルピンスキー数であることは確認されていますが、果たしてこれが最小のシェルピンスキー数であるのかどうかは未解決であり、これは「シェルピンスキーの問題」と呼ばれています。

Seventeen or Bustプロジェクト

分散コンピューティングによる取り組み「Seventeen or Bust」は、この問題の解決を目指し、78557より小さいシェルピンスキー数の候補に対して素数検索を行っています。プロジェクト名は2002年3月時点で17個の候補があったことに由来します。全ての候補について素数が見つかれば78557が最小のシェルピンスキー数であることが確認されます。2016年10月時点で既に12個の素数が発見され、現在78557未満で素数となるkの候補にはまだ5つが残っている状況です。

リーゼル数

リーゼル数（Riesel number）は、シェルピンスキー数と似た概念で、全ての自然数 n に対して k × 2ⁿ − 1 が合成数となる正の奇数 k です。スウェーデンの数学者ハンス・リーゼルにちなんで名付けられています。現在確認されているリーゼル数には509203や762701などが含まれ、最小のリーゼル数が509203であるかどうかもわかっていません。

ブリエ数

ブリエ数（Brier number）は、シェルピンスキー数とリーゼル数の両方の性質を持つ数を指し、全ての自然数 n に対して k × 2ⁿ + 1 および k × 2ⁿ − 1 が合成数である正の奇数 k です。知られているブリエ数の例には3316923598096294713661がありますが、これより小さなブリエ数の存在は確認されていません。

もう一度検索