シュレーディンガー描像

シュレーディンガー描像とは

シュレーディンガー描像（Schrödinger picture）は、量子論の一つのアプローチであり、物理システムの時間発展を状態に基づいて理解します。この描像では、オブザーバブル（測定可能な量）は時間によって変化しないと考えられ、状態のみが時間の経過に伴って変動するという特長があります。

この扱いは、ハイゼンベルク描像とは全く異なる考え方です。ハイゼンベルク描像では、状態自体は不変と見なし、オブザーバブルが時間発展するという点が強調されます。また、相互作用描像では、状態とオブザーバブルの両方が時間と共に変化します。しかし、シュレーディンガー描像、ハイゼンベルク描像、相互作用描像のいずれを選んでも、得られる期待値や確率分布は同等であるため、理論としては等価性を持ちます。

シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー描像の中心的な定理はシュレーディンガー方程式です。この方程式は次のように記述されます。

$$
iar{h}rac{ ilde{ ext{d}}}{ ilde{ ext{d}}t}|oldsymbol{ ext{ψ}}(t)
angle=oldsymbol{H}|oldsymbol{ ext{ψ}}(t)
angle$$

ここで、$|oldsymbol{ ext{ψ}}(t)
angle$は時間$t$における状態ベクトルを表し、$oldsymbol{H}$は全エネルギーを示すハミルトニアンというエルミート演算子です。ハミルトニアンは通常、古典的システムのハミルトニアンを量子化して得られるものです。

時間発展演算子

時間発展演算子$oldsymbol{U}(t,t_0)$は、ある初期時刻$t_0$における状態から現在の時刻$t$へ状態を変化させる役割を果たします。この演算子により、初期状態から現在の状態へと変化できます。具体的には、次のように定義されます。

$$|oldsymbol{ ext{ψ}}(t)
angle=oldsymbol{U}(t,t_0)|oldsymbol{ ext{ψ}}(t_0)
angle$$

この演算子は、いくつかの条件を満たさなければならず、特にユニタリである必要があります。また、時間発展演算子が初期時刻と同じ値において評価される場合、恒等作用素として機能しなければなりません。これにより、次のような関係が成り立つのです。

$$oldsymbol{U}(t_0,t_0)=oldsymbol{I}$$

対応する条件

特に、シュレーディンガー方程式を満たす形で時間発展演算子を考える必要があります。一般的に、$t_0=0$とすると、演算子は以下のように単純化されます。

$$iar{h}rac{ ilde{ ext{d}}}{ ilde{ ext{d}}t}oldsymbol{U}(t)|oldsymbol{ ext{ψ}}(0)
angle=oldsymbol{H}oldsymbol{U}(t)|oldsymbol{ ext{ψ}}(0)
angle$$

この条件を満たす時間発展演算子の具体形を求めることができます。特に、ハミルトニアンが時間に依存しない場合、次の形が得られます。

$$|oldsymbol{ ext{ψ}}(t)
angle=e^{-ioldsymbol{H}t/ar{h}}|oldsymbol{ ext{ψ}}(0)
angle$$

この結果から、ハミルトニアンの固有状態は時間とともに位相だけを変化させることがわかります。つまり、定常状態が成り立つのです。

まとめ

シュレーディンガー描像は量子力学の中で時間発展を状態に基づいて考える方法であり、他の描像と異なる特徴を持ちながらも、物理学の根本的な規則は共通であることが示唆されます。この描像は、量子物理の基礎に立脚した多くの応用や理論の基盤となっています。

もう一度検索