相互作用描像

相互作用描像（そうごさようびょうぞう）

量子力学において、物理系の時間的な振る舞いを記述するための枠組み、すなわち「描像」は複数存在します。中でもよく知られているのは、状態ベクトルが時間の関数として変化し、観測量を表す演算子は基本的に時間によらないとするシュレーディンガー描像と、逆に状態ベクトルは時間に依存せず、演算子が時間とともに変化するハイゼンベルク描像です。

相互作用描像は、これら二つの描像の「中間」に位置づけられる考え方です。シュレーディンガー描像では状態の時間依存性のみが、ハイゼンベルク描像では演算子の時間依存性のみが物理的な時間変化を担いますが、相互作用描像では、状態ベクトルと演算子の両方が時間依存性を持つことになります。この描像は、提案者の一人であるポール・ディラックにちなんで、ディラック描像とも呼ばれます。

この描像の利点の一つは、異なる時点における演算子を含む物理量の時間依存性を比較的容易に扱うことができる点です。例えば、ある物理量が時刻`t1`と`t2`でどのような値を取りうるか、といった議論がより自然に行えます。ただし、どの描像で議論しているかを明確にしないと混乱を招く可能性もあるため、注意が必要です。

定義

相互作用描像は、シュレーディンガー描像からのユニタリ変換によって構築されます。この変換を行うために、系のハミルトニアン`ĤS`（シュレーディンガー描像におけるハミルトニアン）を、通常、厳密に解ける部分`Ĥ₀,S`と、比較的小さな摂動部分や相互作用部分`Ĥ₁,S`の二つに分けます。つまり、`ĤS = Ĥ₀,S + Ĥ₁,S`と表現します。多くの場合、`Ĥ₀,S`は時間によらない演算子を選び、系の自由な（相互作用のない）部分の記述に用いられます。陽に時間に依存する外部場との相互作用などがある場合は、その部分を`Ĥ₁,S`に含めることが多いです。

相互作用描像における状態ベクトル`|ψI(t)⟩`や演算子`ÂI(t)`は、シュレーディンガー描像での対応物`|ψS(t)⟩`や`ÂS(t)`を用いて、以下のように定義されます（概念的な関係を示すもので、厳密な数式は省略します）：

状態ベクトル: シュレーディンガー描像の状態ベクトルに、`Ĥ₀,S`による時間発展を打ち消すようなユニタリ演算子を作用させて得られます。これにより、状態ベクトルの時間依存性は`Ĥ₁,S`に由来する部分のみになります。
演算子: シュレーディンガー描像の演算子に、`Ĥ₀,S`による時間発展を与えるようなユニタリ演算子を作用させて得られます。これにより、演算子の時間依存性は主に`Ĥ₀,S`に由来する部分となります。

ハミルトニアンのうち、`Ĥ₀,S`に対応する相互作用描像の演算子`Ĥ₀,I`は、ユニタリ変換を行ってもその形が変化しないため、`Ĥ₀`と区別なく表記されることが多いです。一方、摂動ハミルトニアン`Ĥ₁,S`に対応する相互作用描像の演算子`Ĥ₁,I`は、一般的には時間に依存する演算子となります。

時間発展方程式

相互作用描像における物理量の時間発展は、状態ベクトルと演算子の両方に分配されます。

状態ベクトルの時間発展: 相互作用描像における状態ベクトルは、相互作用描像のハミルトニアン`Ĥ₁,I`によって駆動される時間発展方程式に従います。この方程式は朝永-シュウィンガーの式として知られ、系の相互作用の効果のみを分離して記述する形となります。

演算子の時間発展: 相互作用描像における演算子は、主に`Ĥ₀`によって駆動される時間発展方程式に従います。陽に時間に依存しないシュレーディンガー描像の演算子から変換された場合、その時間発展の形は、ハイゼンベルク描像においてハミルトニアンを`Ĥ₀`とした場合の演算子の時間発展と同じになります。

密度行列についても、同様に相互作用描像で表現することができ、その時間発展は相互作用描像のハミルトニアン`Ĥ₁,I`と密度行列自身の交換子を用いて記述されます。

使用と利点

相互作用描像の最大の目的は、ハミルトニアンの「自由な」部分`Ĥ₀`による時間依存性（これは演算子が担う）と、「相互作用」部分`Ĥ₁`による時間依存性（これは状態ベクトルが担う）を明確に分離することにあります。

この分離は、特に摂動法を用いる際に非常に有効です。厳密解が分かっている系（`Ĥ₀`に対応）に対して、小さな外乱や相互作用（`Ĥ₁`に対応）が加わった場合の効果を調べたいとき、相互作用描像を用いると、摂動`Ĥ₁,I`による状態の変化を系統的に計算しやすくなります。

また、場の量子論においても相互作用描像は広く用いられます。相互作用のない自由場の演算子が必要な時間発展を行う一方で、相互作用の効果は状態ベクトルの中に集約されます。これにより、相互作用があっても場の演算子が自由場の満たすべき方程式（例えばクライン-ゴルドン方程式やディラック方程式）を満たす形を保つことができ、自由場の理論で開発された多くの手法や概念（例：場の展開）を応用しやすくなります。

`Ĥ₁`が全く存在しない系、すなわち相互作用のない自由な系では、相互作用描像の状態ベクトルは時間に依存せず、相互作用描像はハイゼンベルク描像と一致します。このように、相互作用描像は、特定の状況、特に時間依存する摂動を扱う際に、解析や計算を効率的に進めるための強力なツールとなります。

参考文献：
高田康民『多体問題』朝倉書店、1999年。
Townsend, John S. "A Modern Approach to Quantum Mechanics." University Science Books, 2000.

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