シュワルツの補題
「シュワルツの補題」は、複素解析学の基礎をなす重要な定理の一つです。ドイツの数学者ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツによって示され、複素関数が「正則である」という性質が、関数の値に課す強い制約条件を端的に表しています。この補題は、特定の状況下でのみ成り立つように見えるかもしれませんが、その応用範囲は広く、リーマンの写像定理やピカールの定理をはじめとする、複素解析学の記念碑的な定理群の証明において、中心的な役割を担います。
この定理は、以下のような条件を満たす複素関数 f(z) を対象とします。
複素平面 C 上の単位円板 D = {z : |z| < 1} 上で関数 f(z) が定義されており、次の三つの性質を持っています。
1. 関数 f(z) は単位円板 D の内部で正則関数であること。正則関数とは、その定義域の各点で微分可能であるような複素関数のことです。
2. 単位円板 D の全ての点 z において、関数の値の絶対値が1未満であること、すなわち |f(z)| < 1 が成立していること。
3. 原点 z = 0 における関数の値がゼロであること、つまり f(0) = 0 であること。
これらの前提条件が満たされるとき、シュワルツの補題は二つの重要な結論を導きます。
第一の結論：単位円板 D 内の任意の点 z に対して、必ず |f(z)| ≤ |z| という不等式が成り立ちます。この不等式は、原点から離れるほど関数の値の絶対値が、対応する点の絶対値よりも大きくならないことを意味しており、単位円板内の正則関数の「成長」に上限があることを示唆しています。
第二の結論：もし、単位円板 D から原点を除いた領域 D - {0} のある点 z0 において、上記の不等式の等号が成立する場合 (|f(z0)| = |z0|)、または原点における微分係数の絶対値が 1 である場合 (|f'(0)| = 1)、関数 f(z) の形は非常に限定されます。具体的には、絶対値が 1 であるような複素定数 a が存在し、単位円板 D の全ての点 z に対して f(z) = az と表される、つまり原点を中心とする単純な回転または反転を伴う拡大写像であることが示されます。
この定理の仮定は、特定の条件を課しているように見えますが、これは複素解析における標準的な正規化の手続きの結果として捉えることができます。適切な一次分数変換などを用いることで、より広いクラスの関数や領域に対して、この補題の考え方を応用することが可能です。この普遍性が、多くの定理の証明基盤となる理由です。
定理の証明は、複素解析学の強力な道具である「最大絶対値の原理」を用いて行われます。まず、補助関数 g(z) = f(z)/z を導入します。関数 f(z) が原点でゼロの値をとる（f(0)=0）という条件により、この関数 g(z) は、見かけ上問題となる原点 z=0 においても正則となるように拡張できます。実際、z→0 における g(z) の極限は f'(0) に一致するため、g(z) は単位円板 D 全体で正則関数とみなせます。
次に、最大絶対値の原理を g(z) に適用します。任意の 0 < r < 1 に対して、半径 r の円周上 |z|=r を考えると、仮定 |f(z)| < 1 より、この円周上では |g(z)| = |f(z)/z| = |f(z)|/|z| = |f(z)|/r < 1/r が成り立ちます。最大絶対値の原理によれば、正則関数 g(z) は閉領域 Dr = {z : |z| ≤ r} 上で絶対値の最大値をその境界である円周 Cr 上でとるため、Dr の内部でも |g(z)| < 1/r となります。この結果が任意の 0 < r < 1 で成り立つことから、r を限りなく1に近づける極限を考えることで、単位円板 D 全体の任意の点 z に対して |g(z)| ≤ 1 という不等式が導かれます。補助関数の定義 g(z) = f(z)/z に戻れば、これは |f(z)/z| ≤ 1、すなわち |f(z)| ≤ |z| という定理の主要な主張そのものです。
定理の第二の結論、等号成立条件に関する部分は、再び最大絶対値の原理の応用によって得られます。もし、単位円板 D の内部（ただし原点を除く）の点 z0 で |f(z0)| = |z0| が成立した場合、対応する g(z0) の絶対値は |g(z0)| = |f(z0)/z0| = |z0|/|z0| = 1 となります。また、もし |f'(0)| = 1 であった場合、g(0)=f'(0) であったことから |g(0)| = 1 となります。どちらの場合も、正則関数 g(z) が単位円板 D の内部で絶対値の最大値である 1 を達成することになります。最大絶対値の原理の強力な帰結として、「正則関数が定義域の内部で絶対値の最大値をとるならば、その関数は定数関数である」という性質があります。したがって、g(z) は単位円板 D 全体で絶対値が 1 の定数関数であると結論付けられます。この定数を a とおけば、|a|=1 であり、g(z) = a より f(z)/z = a、すなわち f(z) = az という、等号成立の場合における関数の具体的な形が導かれるのです。
シュワルツの補題は、複素解析学における写像論の基本的な道具であり、関数が単位円板内でどのように振る舞うかを示す洞察を与えてくれます。これを学ぶ際には、「正則関数」や「最大絶対値の原理」といった関連概念を合わせて理解することが重要です。
この定理は、以下のような条件を満たす複素関数 f(z) を対象とします。
複素平面 C 上の単位円板 D = {z : |z| < 1} 上で関数 f(z) が定義されており、次の三つの性質を持っています。
1. 関数 f(z) は単位円板 D の内部で正則関数であること。正則関数とは、その定義域の各点で微分可能であるような複素関数のことです。
2. 単位円板 D の全ての点 z において、関数の値の絶対値が1未満であること、すなわち |f(z)| < 1 が成立していること。
3. 原点 z = 0 における関数の値がゼロであること、つまり f(0) = 0 であること。
これらの前提条件が満たされるとき、シュワルツの補題は二つの重要な結論を導きます。
第一の結論：単位円板 D 内の任意の点 z に対して、必ず |f(z)| ≤ |z| という不等式が成り立ちます。この不等式は、原点から離れるほど関数の値の絶対値が、対応する点の絶対値よりも大きくならないことを意味しており、単位円板内の正則関数の「成長」に上限があることを示唆しています。
第二の結論：もし、単位円板 D から原点を除いた領域 D - {0} のある点 z0 において、上記の不等式の等号が成立する場合 (|f(z0)| = |z0|)、または原点における微分係数の絶対値が 1 である場合 (|f'(0)| = 1)、関数 f(z) の形は非常に限定されます。具体的には、絶対値が 1 であるような複素定数 a が存在し、単位円板 D の全ての点 z に対して f(z) = az と表される、つまり原点を中心とする単純な回転または反転を伴う拡大写像であることが示されます。
この定理の仮定は、特定の条件を課しているように見えますが、これは複素解析における標準的な正規化の手続きの結果として捉えることができます。適切な一次分数変換などを用いることで、より広いクラスの関数や領域に対して、この補題の考え方を応用することが可能です。この普遍性が、多くの定理の証明基盤となる理由です。
定理の証明は、複素解析学の強力な道具である「最大絶対値の原理」を用いて行われます。まず、補助関数 g(z) = f(z)/z を導入します。関数 f(z) が原点でゼロの値をとる（f(0)=0）という条件により、この関数 g(z) は、見かけ上問題となる原点 z=0 においても正則となるように拡張できます。実際、z→0 における g(z) の極限は f'(0) に一致するため、g(z) は単位円板 D 全体で正則関数とみなせます。
次に、最大絶対値の原理を g(z) に適用します。任意の 0 < r < 1 に対して、半径 r の円周上 |z|=r を考えると、仮定 |f(z)| < 1 より、この円周上では |g(z)| = |f(z)/z| = |f(z)|/|z| = |f(z)|/r < 1/r が成り立ちます。最大絶対値の原理によれば、正則関数 g(z) は閉領域 Dr = {z : |z| ≤ r} 上で絶対値の最大値をその境界である円周 Cr 上でとるため、Dr の内部でも |g(z)| < 1/r となります。この結果が任意の 0 < r < 1 で成り立つことから、r を限りなく1に近づける極限を考えることで、単位円板 D 全体の任意の点 z に対して |g(z)| ≤ 1 という不等式が導かれます。補助関数の定義 g(z) = f(z)/z に戻れば、これは |f(z)/z| ≤ 1、すなわち |f(z)| ≤ |z| という定理の主要な主張そのものです。
定理の第二の結論、等号成立条件に関する部分は、再び最大絶対値の原理の応用によって得られます。もし、単位円板 D の内部（ただし原点を除く）の点 z0 で |f(z0)| = |z0| が成立した場合、対応する g(z0) の絶対値は |g(z0)| = |f(z0)/z0| = |z0|/|z0| = 1 となります。また、もし |f'(0)| = 1 であった場合、g(0)=f'(0) であったことから |g(0)| = 1 となります。どちらの場合も、正則関数 g(z) が単位円板 D の内部で絶対値の最大値である 1 を達成することになります。最大絶対値の原理の強力な帰結として、「正則関数が定義域の内部で絶対値の最大値をとるならば、その関数は定数関数である」という性質があります。したがって、g(z) は単位円板 D 全体で絶対値が 1 の定数関数であると結論付けられます。この定数を a とおけば、|a|=1 であり、g(z) = a より f(z)/z = a、すなわち f(z) = az という、等号成立の場合における関数の具体的な形が導かれるのです。
シュワルツの補題は、複素解析学における写像論の基本的な道具であり、関数が単位円板内でどのように振る舞うかを示す洞察を与えてくれます。これを学ぶ際には、「正則関数」や「最大絶対値の原理」といった関連概念を合わせて理解することが重要です。
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