最大絶対値の原理

最大絶対値の原理：正則関数の振る舞いに関する定理

最大絶対値の原理（Maximum Modulus Principle）は、複素解析において、正則関数の性質を記述する基本的な定理です。この定理は、正則関数という複素関数の中でも特に性質の良い関数に対し、その絶対値が定義域内でどのように振舞うのかを厳密に規定しています。正則関数は、微分可能であるという条件に加え、より強い制約を満たすため、その性質は極めて興味深いものとなります。

定理の主張

定理を簡潔に述べると、以下のようになります。

複素関数 f(z) が領域 D で正則であり、かつ定数関数でない場合、|f(z)| は領域 D の内部で最大値を取りません。

言い換えると、正則関数の絶対値は、定義域の境界上で最大値を取るか、もしくは定義域全体で一定値となります。この性質は、正則関数の挙動を理解する上で非常に重要であり、様々な応用につながります。

証明：背理法によるアプローチ

この定理の証明は、背理法を用いて行われます。すなわち、定理の主張が成り立たないと仮定し、その仮定から矛盾を導き出すことで、定理の正しさを示します。

1. 仮定: 領域 D の内部のある点 z₀ において、|f(z)| が最大値 M を取ると仮定します。
2. コーシーの積分公式: 点 z₀ を中心とする半径 r の円盤 Dᵣ を考えます。コーシーの積分公式を用いると、Dᵣ 内の任意の点 z に対して、関数 f(z) は以下の積分表示で表せます。


f(z) = °(1/(2πi))∮₀ₐₐₑₑₒ(f(ζ)/(ζ - z))dζ

ここで、積分経路は z₀ を中心とする半径 r の円 Cᵣ です。
3. 絶対値の評価: 上記の積分表示の絶対値を評価することで、以下の不等式が得られます。


≤ M

4. 矛盾の導出: 仮定より |f(z₀)| = M です。上記の不等式と合わせると、|f(z₀)| = M は円 Cᵣ 上の f(z) の絶対値が常に M であることを意味します。このことは、r の値を小さくしても成り立ちます。
5. 一致の定理: f(z) が D 全体で定数であることを導き出します。これは、最初の仮定に矛盾します。なぜなら、f(z) は定数関数ではないと仮定していたからです。

したがって、最初の仮定は誤りであり、|f(z)| は D の内部で最大値を取らないという結論が得られます。

まとめ

最大絶対値の原理は、正則関数の重要な性質を示す定理であり、複素解析において基礎的な役割を担っています。その証明は、背理法とコーシーの積分公式に基づいて行われ、正則関数の絶対値が定義域の境界上で最大値を取る、もしくは定義域全体で一定値であることを示しています。この定理は、複素関数論における様々な問題を解く上で強力なツールとなります。

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