ジャコブソン根基

ジャコブソン根基についての詳細

数学の抽象代数学、特に環論において、環 R のジャコブソン根基（J(R)またはrad(R)と記される）は、すべての単純右 R-加群を零化する元から構成されるイデアルです。この概念は、環の特性を理解するための重要な要素となっており、加群の理論においても中心的な役割を果たします。ジャコブソン根基は1945年にナサン・ジャコブソンによって発表され、以来、環論のさまざまな側面でその重要性が認識されています。

ジャコブソン根基の定義と特性

ジャコブソン根基は、任意の環に対して対称的に定義されており、一般的には「悪い」元の集まりとして捉えることができます。ここでの「悪い」とは、これらの元がすべての単純左・右加群を零化するという性質を指します。特に、可換環のベキ零根基は、すべてのベキ零元から成り立っていますが、任意の環の中心に属するベキ零元は、必ずジャコブソン根基に含まれます。このため、可換環においてはベキ零根基はジャコブソン根基の一部となります。

さらに、ジャコブソン根基は環の「悪い元を消す」手段とも考えられ、商環 R/J(R) では、ジャコブソン根基の元は 0 として振る舞います。このように、すべての「悪い」元は J(R) で取り除かれ、実質的には 0 に帰着します。

同値な特徴づけ

ジャコブソン根基は多くの異なる特徴づけを持っていますが、以下に主なものを示します。まず、単位元を持つ環 R において、J(R) はすべての極大右イデアルの共通部分と同じです。これは極大左イデアルについても同様です。さらに、J(R) は R のすべての余剰右イデアルの和とも等しいということが特徴的です。このことは、加群の研究においても重要な洞察を与えます。

特に注意すべき点は、J(R) は単純右 R-加群のすべての零化イデアルの共通部分でもあることです。これは、ジャコブソン根基がすべての原始イデアルの共通部分であることを示しています。加えて、J(R) はすべての元が右準正則であるような極大な唯一の右イデアルです。この性質は計算や直感を助けるもので、実際には中山の補題の基礎を成しています。

単位元を持たない環の場合

単位元を持たない環 R に関しても、J(R) は以下のように定義されます。すなわち、R のすべての元 r に対して ra が left generalized quasiregular であるようなすべての元 a の集合です。この特徴づけは、単位元を持つ場合のものと一致します。

また、単位元を持たない環で単純加群が存在しない場合、R はジャコブソン根基そのものであることが知られています。このような環は「ラジカル環」と呼ばれ、単位元を持たない環としての重要な性質を具えていることが示されます。

ジャコブソン根基の具体例

具体的な例としては、任意の体、フォノイマン正則環、および左あるいは右原始環のジャコブソン根基は常に 0 です。また、環 Z/12Z のジャコブソン根基は 6Z/12Z であり、これは極大イデアル 2Z/12Z と 3Z/12Z の共通部分に他なりません。

さらに、体 K を成分とする n 次上三角行列の環において、J(R) は主対角成分が 0 であるすべての上三角行列となります。また、形式的冪級数環においては、定数項が 0 であるすべての冪級数から構成されます。このように、ジャコブソン根基は環の構造や性質を深く反映した重要な概念であり、その多様な性質は数学のさまざまな分野において応用されています。

結論

ジャコブソン根基は環論の核心に位置し、その特性や応用は数学における多くの理論の基盤となっています。環 R の性質を理解する上で、本概念は重要な役割を果たしており、さらなる研究や探求を促すものです。

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