単純加群

単純加群（既約加群）詳解

環論において、単純加群（既約加群）は、重要な役割を果たす基本的な概念です。本稿では、その定義、特徴付け、具体例、そして関連する重要な性質について詳しく解説します。

定義:

環 R 上の左加群 S が、{0} 以外の非自明な部分 R-加群を持たないとき、S を単純加群または既約加群といいます。これは、S の任意の 0 以外の元 x について、S = Rx となることと同値です。言い換えれば、S は {0} と S 自身以外の部分加群を含まないということです。右加群についても同様の定義が成り立ちます。

特徴付け:

単純加群は、以下のようにも特徴付けられます。左 R-加群の圏 R-Mod において、任意の 0 でない準同型写像 S → M は単射であり、任意の 0 でない準同型写像 M → S は全射です。これは、単純加群が最小の非自明な加群であることを示唆しています。

具体例:

いくつかの具体的な例を通して、単純加群のイメージを掴みましょう。

有限 Z-加群: 有限 Z-加群はアーベル群と同一視できます。この場合、単純 Z-加群とは、{0} 以外の真の部分群を持たないアーベル群、つまり位数が素数の巡回群になります。
体上の加群: 係数環 R が体 k の場合、k-加群は線形空間になります。このとき、単純 k-加群は 1 次元線形空間 k となります。これは、k の任意の 0 でない元を基底として、k 全体を作れることを意味します。
行列環上の加群: 係数環 R が体 k 上の n × n 全行列環 Mat_n(k) の場合、単純 R-加群は kⁿ となります。ここで、環の作用は行列の乗法で定義されます。
群環上の加群: 複素数体 C 上の対称群 S_n に関する群環 CS_n の単純 CS_n-加群の同型類は、シュペヒト加群によって与えられます。シュペヒト加群は、表現論において重要な役割を果たす加群です。

性質:

単純加群は、以下の重要な性質を持ちます。

極大イデアルとの関係: 環 R の極大左イデアル L に対して、R/L は単純左加群となります。逆に、すべての単純加群はこの方法で得られます。このことから、単純加群は常に存在することが分かります。
直既約性: 単純加群は直既約加群です。直既約加群とは、二つの非自明な部分加群の直和に分解できない加群です。
巡回加群: 単純加群は巡回加群です。巡回加群とは、単一の元から環の作用によって生成される加群です。

関連概念:

単純加群と密接に関連する概念として、以下のものがあります。

半単純加群: 半単純加群は、単純加群の直和として表せる加群です。
既約表現: 単純加群は、既約表現に対応します。既約表現は、表現論において中心的な役割を果たします。
シューアの補題: シューアの補題は、既約表現に関する重要な定理です。
ジョルダン・ヘルダーの定理: ジョルダン・ヘルダーの定理は、加群の組成列に関する基本的な定理です。

参考文献:

岩永 恭雄、佐藤 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年
* Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. Rings and Categories of Modules. Graduate texts in mathematics. 13 (Second ed.). Springer-Verlag, 1992.

本稿では、単純加群の定義、特徴付け、具体例、そして重要な性質について解説しました。これらの概念は、環論、加群論、そして表現論を理解する上で不可欠です。より深い理解のためには、関連する文献を参照することをお勧めします。

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