ジャコブソン環

ヒルベルト環とジャコブソン環についての考察

代数学において、ヒルベルト環（Hilbert ring）またはジャコブソン環（Jacobson ring）は、すべての素イデアルが原始イデアルの共通部分であるような環を指します。特に可換環の場合、原始イデアルは極大イデアルと一致するため、ジャコブソン環とはすべての素イデアルが極大イデアルの共通部分でもある環と定義できます。

この概念は1950年代に、ウルリッヒ・クルル（Wolfgang Krull）とオスカー・ゴールドマン（Oscar Goldman）によって独立に導入されました。クルルはこの名を、ジャコブソン根基との関連からNathan Jacobsonに由来させ、ゴールドマンはヒルベルトの零点定理に由来させました。

ジャコブソン環とヒルベルトの零点定理の関連性

代数幾何学におけるヒルベルトの零点定理は、有限個の変数を持つ体上の多項式環がヒルベルト環であると述べています。この定理の一般的な形は、環Rがジャコブソン環であれば、任意の有限生成R-代数Sもジャコブソン環であることを示しています。さらに、Sの任意の極大イデアルJの引き戻しはRの極大イデアルIであり、商環S/Jは体R/Iの有限拡張であることも特筆すべきです。

この特徴は、ジャコブソン環上の有限型の射が環の極大スペクトルの射を誘導することにあります。これにより、体上の代数多様体において、スキームを導入する前の段階においても、すべての素イデアルではなくすべての極大イデアルの検討がしばしば十分である理由が説明されます。一般の局所環において、環の射が極大スペクトルを持つという性質は成り立たず、むしろ素イデアルを使用した方が算理的に述べることが可能です。

具体例

ジャコブソン環の例としては、任意の体が挙げられます。また、任意の主イデアル整域やジャコブソン根基が0のデデキント整域もジャコブソン環の一種です。与えられた環において0でない素イデアルが極大であるとすると、確認すべき重要な点は零イデアルが極大イデアルの共通部分であるかどうかです。ジャコブソン根基が0であることで、この条件は満たされます。

さらに、ジャコブソン環上の任意の有限生成代数もジャコブソン環であるため、これには体や整数環上の任意の有限生成代数が含まれます。特にアフィン代数的集合の座標環もこれに該当します。局所環は1つの極大イデアルのみを有しますので、それがジャコブソン環であるためには、その極大イデアルが唯一の素イデアルであることが必要です。従って、Krull次元が0の可換局所環はジャコブソン環であると結論付けられますが、次元が1以上の場合にはその条件を満たさないことが分かります。

特徴づけと性質

可換環Rに対して、以下の条件が互いに同値であることが知られています。
1. Rはジャコブソン環である。
2. Rのすべての素イデアルは極大イデアルの共通部分である。
3. すべての根基イデアルは極大イデアルの共通部分である。
4. すべてのゴールドマンイデアルは極大である。
5. Rの素イデアルによるすべての商環のジャコブソン根基は0である。
6. すべての商環において、冪零根基はジャコブソン根基に等しい。
7. 体のようなR上のすべての有限生成代数はR-加群として有限生成である（ザリスキの補題）。
8. Rのスペクトルはジャコブソン空間であり、すべての閉部分集合がその中の閉点全体の集合の閉包を形成する。

このように、ジャコブソン環は代数幾何学や可換代数学の様々な分野において重要な役割を果たしており、その性質と特性は代数的構造の理解に不可欠です。

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