ジョンソンの立体

ジョンソンの立体：正多面体を超えた幾何学の世界

ジョンソンの立体、またはザルガラーの多面体とは、非常に特殊な性質を持つ立体です。それは、すべての面が正多角形で構成され、かつすべての辺の長さが等しい凸多面体でありながら、正多面体や半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱には分類されないものです。この独特の性質から、数学者や幾何学愛好家の間で長年研究されてきました。

整面凸多面体：ジョンソンの立体の定義

ジョンソンの立体は「整面凸多面体」という分類に属します。整面凸多面体とは、全ての面が正多角形であり、かつすべての辺の長さが等しい凸多面体を指します。ジョンソンの立体は、この整面凸多面体の中でも、より限定的なグループを構成します。正多面体や半正多面体は整面凸多面体ですが、ジョンソンの立体ではありません。

92種類の多様性：発見と証明

ジョンソンの立体は、全部で92種類存在します。この数は、アメリカの数学者ノーマン・ジョンソンが1966年に発表した一覧表に基づいています。ジョンソンは、それぞれの立体に番号と名前を与えましたが、これが全てであることの証明は行いませんでした。その後、1969年にヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラーがコンピュータを用いた計算によって、ジョンソンの一覧表が完全であることを証明し、92種類が全てであることが確定しました。

幾何学的性質：面と対称性

ジョンソンの立体は、幾何学的に興味深い多くの性質を持っています。

面の構成: 面の種類は、正三角形、正方形、正五角形、正六角形、正八角形、正十角形の6種類のみです。これは半正多面体と共通する特徴です。最大1種類の正六角形、正八角形、正十角形しか使用されず、正2n角形が使われている場合は必ず正n角形も使われています。この性質は半正多面体には当てはまりません。
対称性: ジョンソンの立体の対称性は、CyclicまたはDihedralです。これらの対称性は、正多面体や半正多面体に見られるTetrahedral、Octahedral、Icosahedralといった対称性よりも低く、回転対称軸の本数は1本（Cyclic）または2本（Dihedral）に限定されます。アルキメデスの角柱や反角柱はDihedral対称性を持ちます。

分類：ジョンソンの命名法

ジョンソンの立体は、その形状に基づいていくつかのグループに分類することができます。ジョンソン自身による番号と英語の名称は広く用いられていますが、日本語訳には多少の揺れがあります。

1-6: 角錐、台塔、丸塔
7-17: 角錐柱、角錐反柱、双角錐
18-48: 台塔と丸塔の変形
49-57: 側錐角柱
58-64: 正多面体の変形
65-83: 半正多面体の変形
* 84-92: その他

関連研究と今後の展望

ジョンソンの立体に関する研究は、数学、幾何学、コンピュータグラフィックスなど、様々な分野に広がっています。特に、コンピュータ技術の進歩によって、より複雑なジョンソンの立体の性質の解明や、新たな応用が期待されています。 この分野は、現在もなお活発に研究が進められており、更なる発見が期待される魅力的な研究領域と言えるでしょう。

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