ソボレフ不等式

解析学の分野、特にソボレフ空間の研究において、ソボレフ不等式（英: Sobolev inequality）は非常に重要な概念です。これは、関数が持つ弱微分のノルムと、関数自身の異なるノルム（または関数が属する空間の性質）との間に成り立つ評価式の総称であり、ロシアの数学者セルゲイ・ソボレフの名にちなんでいます。

この一連の不等式は、ソボレフ空間論の根幹をなす多くの定理、とりわけソボレフ埋蔵定理やレリッヒ＝コンドラショフの定理を証明する上で決定的な役割を果たします。

ソボレフ埋蔵定理

ソボレフ埋蔵定理は、あるソボレフ空間に属する関数が、自動的に別の関数空間にも属することを示すものです。Rn上のソボレフ空間 $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ は、k階までの弱微分が $L^p(\mathbf{R}^n)$ 空間に属する実数値関数全体からなります。

定理の第一部では、特定の条件下で $W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ が別のソボレフ空間 $W^{l,q}(\mathbf{R}^n)$ に連続的に埋め込まれることが示されます。例えば、$k > l$ かつ $(k-l)p < n$ を満たし、かつ指数 q が $1/q = 1/p - (k-l)/n$ で定まる場合、この埋め込みが成立します。特に、$k=1, l=0$ の場合、関数が $L^{p^}(\mathbf{R}^n)$ 空間に属することを示し、ここで $p^$ は $1/p^ = 1/p - 1/n$ で定義されるソボレフ共役と呼ばれる指数です。この特別な場合は、後述するガリャルド＝ニーレンバーグ＝ソボレフ不等式から直接導かれます。

定理の第二部では、ソボレフ空間からヘルダー空間への埋め込みが論じられます。指数 $\alpha \in (0,1)$ に対して $(k-r-\alpha)/n = 1/p$ という条件が満たされる場合、$W^{k,p}(\mathbf{R}^n)$ はヘルダー空間 $C^{r,\alpha}(\mathbf{R}^n)$ に連続的に埋め込まれます。これは、関数の弱微分の存在が、その関数の（古典的な意味での）ある種の滑らかさや連続性を保証することを示唆しており、モレーの不等式から導かれる結果です。

これらの埋蔵定理は、Rnだけでなく、リプシッツ境界を持つ有界開集合やコンパクトリーマン多様体といった他の適切な領域上のソボレフ空間に対しても成立します。

コンドラショフ埋蔵定理

ソボレフ埋蔵定理に関連して、境界が滑らかなコンパクト多様体上のソボレフ空間に関するコンドラショフ埋蔵定理があります。これは、$k > l$ かつ $k - n/p > l - n/q$ という条件の下で、ソボレフ空間 $W^{k,p}(M)$ から $W^{l,q}(M)$ への埋め込みが完全連続であることを示しており、解析学において非常に強力なツールとなります。

主要なソボレフ型不等式

ソボレフ埋蔵定理や関連する結果を導くために、いくつかの具体的な不等式が用いられます。

ガリャルド＝ニーレンバーグ＝ソボレフ不等式: コンパクトな台を持つ滑らかな関数 u に対して、その $L^{p^}$ ノルムが微分の $L^p$ ノルムによって抑えられることを示します。この不等式は、$W^{1,p}(\mathbf{R}^n) \subset L^{p^}(\mathbf{R}^n)$ という埋め込みを直接的に保証します。

ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題: この補題は、リースポテンシャル $I_\alpha$ を用いて表現されます。関数 f の $L^p$ ノルムが、そのリースポテンシャル $I_\alpha f$ の $L^q$ ノルム（または弱いLqノルム）を評価するために使えることを示します。これは、ソボレフ自身によるソボレフ埋蔵定理の元の証明方法に関連するものです。

モレーの不等式: $n < p \le \infty$ の場合、関数のヘルダーノルムがその $W^{1,p}$ ノルムによって抑えられることを示します。これにより、$W^{1,p}$ 空間の関数がヘルダー連続になることが保証されます。

* ナッシュ不等式: 関数 u の $L^2$ ノルムが、その $L^1$ ノルムと微分の $L^2$ ノルムの積によって評価されるという不等式です。これはフーリエ変換の性質を用いて証明でき、放物型偏微分方程式の解の減衰率を示す際などに有用です。

これらのソボレフ型の不等式は、偏微分方程式の解の存在、正則性、漸近挙動などを解析する上で、解析学における基礎的なツールとして広く利用されています。
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