開集合
数学の位相空間論において、開集合（かいしゅうごう、英: open set）は非常に基本的な概念です。これは実数直線上の「開区間」が持つ直感的な性質を、より一般的な空間へと拡張したものです。
開集合という概念は、まず空間内の点と点の「近さ」を捉えるために生まれました。例えば、実数直線上の点 `x` と別の点 `y` を区別したいとき、`y` を含まないような `x` の「近傍」を見つけることができれば、二点は区別できると言えます。この「近傍」にあたるものが開集合の直感的なイメージの一つです。
具体的な距離が定義されている空間（距離空間）であれば、点の近さは距離によって測られます。例えば、実数直線上では、点 `x` からの距離が `ε`（正の実数）より小さい点の集まりである開区間 `(x - ε, x + ε)` は、`x` に「近い」点の集まりと見なせます。`ε` を小さくすれば、より精度高く `x` を近似する点の集まりが得られます。
しかし、数学では具体的な距離関数が定義されていない空間も扱います。このような空間でも点の「近さ」や「集まり具合」を議論するために、距離に依存しない抽象的な概念が必要となります。開集合はまさにそのための道具であり、距離空間を一般化した「位相空間」という構造を定義する上で中心的な役割を果たします。開集合を通じて、空間内に具体的な距離関数がなくても、点や集合が「近い」ことや「集まっている」ことを議論できるようになります。これにより、位相空間は距離空間よりも広いクラスの空間を記述可能となります。
開集合の定義は、考えている空間の性質に応じていくつかの段階があります。
1. ユークリッド空間の場合:
n次元ユークリッド空間 `ℝⁿ` の部分集合 `U` が開集合であるとは、`U` の任意の点 `x` に対して、ある正の実数 `ε` が存在し、`x` からのユークリッド距離が `ε` より小さい全ての点 `y` が必ず `U` に含まれるときをいいます。これはつまり、`U` のどの点を取っても、その点を中心とする小さな「開球」を全て `U` の中に含むことができる、ということです。
2. 距離空間の場合:
距離空間 `(M, d)` の部分集合 `U` が開集合であるとは、`U` の任意の点 `x` に対して、ある正の実数 `ε` が存在し、`d(x, y) < ε` となる全ての点 `y ∈ M` が必ず `U` に含まれるときをいいます。これはユークリッド空間の定義を距離関数 `d` を用いて一般化したものであり、やはり「各点の周りに小さな開球を含む」という直感に対応します。
3. 一般の位相空間の場合:
集合 `X` に対して、その部分集合の族 `τ` が `X` 上の位相であるとは、以下の3つの条件（公理）を満たすときをいいます。そして、この位相 `τ` に属する集合を開集合と総称します。
`X` 自身と空集合 `∅` は開集合である。
任意個の開集合の合併（和集合）は開集合である。
有限個の開集合の交わり（共通部分）は開集合である。
距離空間における開集合の族は、これらの位相の公理を満たすことが知られています。したがって、任意の距離空間は、その距離から自然に定まる開集合族によって位相空間と見なすことができます。しかし、逆に任意の位相空間が距離空間であるとは限りません。位相空間においては、開集合の「選び方」そのものが空間の構造を定めているのです。
なお、開集合の無限個の交わりは必ずしも開集合にはなりません。例えば、実数直線上で開区間 `(-1/n, 1/n)`（`n` は正の整数）を考えると、これらの無限個の開区間の交わりは一点集合 `{0}` となりますが、実数直線の通常の位相において一点集合は開集合ではありません。
位相空間の定義から、開集合にはいくつかの基本的な性質があります。
開集合をいくつでも（有限個でも無限個でも）集めて合併すると、結果も開集合になります。
開集合を有限個だけ集めて交わりを取ると、結果も開集合になります。
開集合の概念は、その補集合である閉集合の定義にも使われます。また、全体空間や空集合のように、開集合であると同時に閉集合でもある開かつ閉集合も存在し得ます。
開集合は、位相空間論における様々な重要な概念を定義するための土台となります。例えば、空間内の点の「近さ」を表現したり、収束性を定義したりする際に用いられます。さらに、開集合族が定まると、空間の連続性、連結性、コンパクト性といった位相的な性質が定義できるようになります。写像が連続であるかどうかも、定義域や値域の開集合を用いて特徴付けられます。
開集合は位相に依存する: 同じ集合上に異なる位相を考えることができます。ある集合がある位相のもとでは開集合であっても、別の位相のもとでは開集合でない、ということが起こり得ます。例えば、有理数全体の集合 `ℚ` を実数直線 `ℝ` の部分空間と見なすとき、`ℚ` 上の開集合である `(0, 1) ∩ ℚ` は、`ℝ` の通常の位相では開集合ではありません。このように、開集合であるかどうかは、その集合がどの位相空間の一部として考えられているかに依存します。
開と閉は互いに排他的ではない: 日常的な言葉とは異なり、数学における「開集合」と「閉集合」は互いに排他的な概念ではありません。部分集合は、開集合であるもの、閉集合であるもの、その両方であるもの（開かつ閉）、そしてどちらでもないものがあり得ます。
例: 実数直線の通常の位相において、開区間 `(a, b)` は開集合ですが閉集合ではありません。閉区間 `[a, b]` は閉集合ですが開集合ではありません。全体空間 `ℝ` と空集合 `∅` は、どちらも開かつ閉集合です。半開区間 `[a, b)` は、開集合でも閉集合でもありません。
開集合とそれが定める位相の概念は、点集合位相の中心であるだけでなく、代数幾何学におけるザリスキー位相や微分位相幾何学における可微分多様体上の位相など、数学の他の様々な分野で空間に構造を与えるための基本的な枠組みとして広く応用されています。
動機と直感的な理解
開集合という概念は、まず空間内の点と点の「近さ」を捉えるために生まれました。例えば、実数直線上の点 `x` と別の点 `y` を区別したいとき、`y` を含まないような `x` の「近傍」を見つけることができれば、二点は区別できると言えます。この「近傍」にあたるものが開集合の直感的なイメージの一つです。
具体的な距離が定義されている空間（距離空間）であれば、点の近さは距離によって測られます。例えば、実数直線上では、点 `x` からの距離が `ε`（正の実数）より小さい点の集まりである開区間 `(x - ε, x + ε)` は、`x` に「近い」点の集まりと見なせます。`ε` を小さくすれば、より精度高く `x` を近似する点の集まりが得られます。
しかし、数学では具体的な距離関数が定義されていない空間も扱います。このような空間でも点の「近さ」や「集まり具合」を議論するために、距離に依存しない抽象的な概念が必要となります。開集合はまさにそのための道具であり、距離空間を一般化した「位相空間」という構造を定義する上で中心的な役割を果たします。開集合を通じて、空間内に具体的な距離関数がなくても、点や集合が「近い」ことや「集まっている」ことを議論できるようになります。これにより、位相空間は距離空間よりも広いクラスの空間を記述可能となります。
定義
開集合の定義は、考えている空間の性質に応じていくつかの段階があります。
1. ユークリッド空間の場合:
n次元ユークリッド空間 `ℝⁿ` の部分集合 `U` が開集合であるとは、`U` の任意の点 `x` に対して、ある正の実数 `ε` が存在し、`x` からのユークリッド距離が `ε` より小さい全ての点 `y` が必ず `U` に含まれるときをいいます。これはつまり、`U` のどの点を取っても、その点を中心とする小さな「開球」を全て `U` の中に含むことができる、ということです。
2. 距離空間の場合:
距離空間 `(M, d)` の部分集合 `U` が開集合であるとは、`U` の任意の点 `x` に対して、ある正の実数 `ε` が存在し、`d(x, y) < ε` となる全ての点 `y ∈ M` が必ず `U` に含まれるときをいいます。これはユークリッド空間の定義を距離関数 `d` を用いて一般化したものであり、やはり「各点の周りに小さな開球を含む」という直感に対応します。
3. 一般の位相空間の場合:
集合 `X` に対して、その部分集合の族 `τ` が `X` 上の位相であるとは、以下の3つの条件（公理）を満たすときをいいます。そして、この位相 `τ` に属する集合を開集合と総称します。
`X` 自身と空集合 `∅` は開集合である。
任意個の開集合の合併（和集合）は開集合である。
有限個の開集合の交わり（共通部分）は開集合である。
距離空間における開集合の族は、これらの位相の公理を満たすことが知られています。したがって、任意の距離空間は、その距離から自然に定まる開集合族によって位相空間と見なすことができます。しかし、逆に任意の位相空間が距離空間であるとは限りません。位相空間においては、開集合の「選び方」そのものが空間の構造を定めているのです。
なお、開集合の無限個の交わりは必ずしも開集合にはなりません。例えば、実数直線上で開区間 `(-1/n, 1/n)`（`n` は正の整数）を考えると、これらの無限個の開区間の交わりは一点集合 `{0}` となりますが、実数直線の通常の位相において一点集合は開集合ではありません。
性質と役割
位相空間の定義から、開集合にはいくつかの基本的な性質があります。
開集合をいくつでも（有限個でも無限個でも）集めて合併すると、結果も開集合になります。
開集合を有限個だけ集めて交わりを取ると、結果も開集合になります。
開集合の概念は、その補集合である閉集合の定義にも使われます。また、全体空間や空集合のように、開集合であると同時に閉集合でもある開かつ閉集合も存在し得ます。
開集合は、位相空間論における様々な重要な概念を定義するための土台となります。例えば、空間内の点の「近さ」を表現したり、収束性を定義したりする際に用いられます。さらに、開集合族が定まると、空間の連続性、連結性、コンパクト性といった位相的な性質が定義できるようになります。写像が連続であるかどうかも、定義域や値域の開集合を用いて特徴付けられます。
開集合に関する注意点
開集合は位相に依存する: 同じ集合上に異なる位相を考えることができます。ある集合がある位相のもとでは開集合であっても、別の位相のもとでは開集合でない、ということが起こり得ます。例えば、有理数全体の集合 `ℚ` を実数直線 `ℝ` の部分空間と見なすとき、`ℚ` 上の開集合である `(0, 1) ∩ ℚ` は、`ℝ` の通常の位相では開集合ではありません。このように、開集合であるかどうかは、その集合がどの位相空間の一部として考えられているかに依存します。
開と閉は互いに排他的ではない: 日常的な言葉とは異なり、数学における「開集合」と「閉集合」は互いに排他的な概念ではありません。部分集合は、開集合であるもの、閉集合であるもの、その両方であるもの（開かつ閉）、そしてどちらでもないものがあり得ます。
例: 実数直線の通常の位相において、開区間 `(a, b)` は開集合ですが閉集合ではありません。閉区間 `[a, b]` は閉集合ですが開集合ではありません。全体空間 `ℝ` と空集合 `∅` は、どちらも開かつ閉集合です。半開区間 `[a, b)` は、開集合でも閉集合でもありません。
開集合とそれが定める位相の概念は、点集合位相の中心であるだけでなく、代数幾何学におけるザリスキー位相や微分位相幾何学における可微分多様体上の位相など、数学の他の様々な分野で空間に構造を与えるための基本的な枠組みとして広く応用されています。
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