ソボレフ空間

数学におけるソボレフ空間は、関数自身の大きさだけでなく、その導関数（より広い意味での「弱微分」と呼ばれる概念を用います）の大きさも考慮に入れたノルムを持つベクトル空間です。ロシアの数学者セルゲイ・ソボレフにちなんで名付けられました。この空間は、通常の意味での微分可能性よりも弱い条件で定義される関数も扱えるため、偏微分方程式の解を考える上で非常に有効な枠組みを提供します。

導入と重要性

関数の滑らかさを測る基準として、連続性や可微分性、さらには導関数の連続性（C^k級関数）などが知られています。微分可能な関数は多くの数学分野で重要ですが、20世紀に入り、偏微分方程式の研究が進むにつれて、C^k級のような古典的な滑らかな関数空間だけでは不十分であることが明らかになりました。

多くの偏微分方程式の解は、古典的な意味では滑らかではない場合が多いのです。例えば、関数の「尖り」や「不連続性」がある程度許容されるような空間が必要とされました。ソボレフ空間は、このような現代的な要求に応えるために導入された空間であり、微分方程式論における主要な研究対象の一つとなっています。

定義

ソボレフ空間は、ルベーグ空間Lp（関数自身のp乗積分のノルムが有限である空間）の考え方を拡張したものです。ある階数kまでの弱微分がすべてLp空間に属する関数全体がソボレフ空間W^{k,p}を構成します。ここでいう「弱微分」とは、関数の双対空間上の作用素として定義される、より一般的な微分の概念です。この弱微分を用いることで、たとえ古典的な意味で微分不可能であっても、特定の条件を満たす関数に対して「微分」を定義することができます。

ソボレフ空間W^{k,p}には、関数自身とそのk階までの弱微分のLpノルムを組み合わせて定義されるノルムが導入されます。このノルムに関して、ソボレフ空間は完備なノルム空間、すなわちバナッハ空間となります。特にp=2の場合のソボレフ空間はH^kと表記され、これは内積を持つヒルベルト空間となります。

具体的な例と性質

1次元の場合

最も簡単な例として、1次元の領域（例えば区間や単位円周）上のソボレフ空間が考えられます。単位円周上のW^{k,p}空間は、関数fとそのk階までの弱微分がLpノルム有限であるような関数f全体の集合として定義できます。p=2の場合はヒルベルト空間H^kとなり、フーリエ級数を用いて特徴づけることが可能です。関数のフーリエ係数の減少の速さによって、その関数がどのH^k空間に属するかが判定できます。

多次元の場合

R^nなどの多次元領域上のソボレフ空間W^{k,p}(D)（Dは領域）を考えるには、弱微分の概念がより重要になります。多重指数を用いて、すべてのk階以下の偏弱微分がLp空間に属することを要求します。多次元の場合でも、W^{k,p}(D)は適切なノルムのもとでバナッハ空間となり、p=2の場合はヒルベルト空間H^k(D)となります。

ただし、高次元になると1次元とは異なる性質が現れます。例えば、1次元のW^{1,1}空間には連続関数しか含まれませんが、高次元のW^{1,1}空間には不連続関数が含まれることがあります。一般に、W^{k,p}(D)の関数が連続関数を含むかどうかは、k, p, そして領域の次元nに依存します（具体的にはk > n/pであれば連続関数を含みます）。

非整数階ソボレフ空間

微分階数kが整数でない場合にもソボレフ空間を定義できます。これは通常sを用いてW^{s,p}やH^sと表記されます。H^s空間（p=2の場合）は、フーリエ変換を用いて定義することができます。また、整数階のソボレフ空間の間を「補間」する、より一般的な手法によっても非整数階ソボレフ空間を定義することができ、これらが多くの場合は一致することが知られています。

重要な定理

ソボレフ空間に関する重要な結果がいくつかあります。

ソボレフ埋め込み定理: あるソボレフ空間W^{k,p}に属する関数が、別のソボレフ空間W^{m,q}にも属するための条件（k ≥ mかつ k - n/p ≥ m - n/q）を与えます。これは、Lpノルムの評価が関数の滑らかさ（連続性など）の評価にどのようにつながるかを示すもので、特定の条件下ではコンパクトな埋め込み（コンドラコフの定理）も成立します。
トレース定理: 領域の境界が滑らかである場合、ソボレフ空間の関数をその境界上に「制限」する写像（トレース写像）が定義でき、この写像が連続となることを示します。例えば、H^s空間の関数（s > 1/2）の境界上でのトレースは、H^{s-1/2}空間に属します。
* 拡張定理: 境界があまり悪くない形状の領域上のソボレフ空間の関数を、元の領域の外側でゼロになるようにR^n全体のソボレフ空間の関数に「拡張」する作用素が存在することを示します。

また、領域の境界で値がゼロとなる関数からなるソボレフ空間の重要な部分空間（H^1_0など）も研究されています。これらの空間は、物理現象を記述する多くの偏微分方程式の解の空間として現れます。

応用

ソボレフ空間は、線形および非線形偏微分方程式の理論において中心的な役割を果たします。特に、変分法を用いた偏微分方程式の解の存在証明や、解の正則性（どれくらい滑らかか）を調べたりする際に不可欠なツールとなっています。

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