タリー点

幾何学におけるタリー点

幾何学において、タリー点（Tarry point）は、任意の三角形に対して一意に定まる特別な点の一つであり、「三角形の中心」と呼ばれる重要な点の集合に含まれます。この点の名称は、フランスの幾何学者であるガストン・タリーに由来しています。

タリー点の定義は、特定の直線群の交点として与えられます。具体的には、与えられた三角形△ABCに対し、そのブロカール三角形△DEFを考えます。ブロカール三角形は、元の三角形の頂点と、三角形の内部にある二つの特別な点であるブロカール点を用いて構成される三角形です。タリー点は、元の三角形△ABCのそれぞれの頂点（A, B, C）を通り、それぞれブロカール三角形△DEFの対応する辺（辺 EF, 辺 FD, 辺 DE）に垂直な3本の直線を引いたときに、これらの直線が一点で交わるその交点を指します。

このタリー点は、いくつかの興味深い幾何学的な性質を持っています。最も顕著な性質の一つは、タリー点が常に元の三角形△ABCの外接円上に位置することです。外接円は、三角形の3つの頂点A, B, Cを通る唯一の円であり、多くの特別な点がこの円上やその周辺に存在します。

また、タリー点はシュタイナー点と密接な関係にあります。シュタイナー点も三角形の外接円上に位置する特別な点であり、しばしば三角形の幾何学において重要な役割を果たします。タリー点は、このシュタイナー点のちょうど対蹠点、すなわち外接円の中心に関してシュタイナー点と点対称な位置にある点として特徴づけられます。

さらに、タリー点はキーペルト双曲線とも関連があります。キーペルト双曲線は、三角形の外心、重心、垂心、フェルマー点、ナポレオン点といった、三角形の多くの有名な中心を通る特別な双曲線です。タリー点は、このキーペルト双曲線と三角形の外接円との交点のうち、三角形の頂点以外の第四の交点として現れることが知られています。この事実は、タリー点が持つ数学的な重要性や、他の様々な三角形の中心との関連性を示唆しています。

タリー点は、これらの定義と性質を通じて、古典的な三角形の幾何学における研究対象の一つとなっています。その存在と性質は、ブロカール三角形、シュタイナー点、キーペルト双曲線といった他の幾何学的な概念との豊かな繋がりを示しており、三角形の中心体系の中で独自の地位を占めています。これらの点の探求は、平面幾何学の深い理解へと繋がるものです。

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