ダルブー座標

ダルブー座標

シンプレクティック幾何学は、特に古典力学や解析力学の数学的定式化において重要な役割を果たします。この分野の中心的な概念の一つに「ダルブー座標」があります。ダルブー座標とは、シンプレクティック形式という特別な構造を持つ多様体（シンプレクティック多様体）の局所的な構造を、最も扱いやすい「標準的な形」に単純化するための座標系です。

ダルブーの定理による存在保証

ダルブー座標の存在は、「ダルブーの定理」によって保証されています。この定理は次のように述べられます。

任意の $2n$ 次元シンプレクティック多様体 $(M, \omega)$ が与えられたとき、多様体上のどのような点 $x$ を選んでも、その点 $x$ を含むある領域（近傍 $U$）において、特別な座標系 $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ を構成することができます。この選ばれた座標系のもとでは、元のシンプレクティック形式 $\omega$ は、近傍 $U$ 上で

$$ \omega |_{U} = \sum_{i=1}^{n} dp_i \wedge dq_i $$

という非常に簡潔な形に書き表されるのです。ここで、$dp_i$ や $dq_i$ はそれぞれの座標に関する微分形式を表し、$\wedge$ はウェッジ積です。

ダルブー座標とは、まさにこのダルブーの定理によって存在が保証される、シンプレクティック形式を上式のような標準的な形に変換する局所座標系 $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ のことを指します。

この座標系における $q_i$ はしばしば「一般化座標」、そして $p_i$ は「一般化運動量」と見なすことができ、これは古典力学のハミルトン形式で用いられる正準座標系と概念的に深く結びついています。

定理の意義とダルブー座標の役割

ダルブーの定理は、シンプレクティック多様体の局所的な構造に関して非常に重要な事実を示しています。それは、どのようなシンプレクティック多様体であっても、十分小さな領域に注目すれば、そのシンプレクティック構造は常に標準的な形である $\sum dp_i \wedge dq_i$ と「同じ」である、という点です。これは、リーマン多様体のように、ガウス曲率などの局所的な不変量が存在し、それによって多様体の局所構造が区別されるのとは対照的です。ダルブーの定理は、シンプレクティック多様体には局所的な不変量が存在しないことを意味しており、全てのシンプレクティック多様体が局所的には微分同相であるかのように振る舞うことを示唆しています。

ダルブー座標系は、シンプレクティック形式が最も単純な形で表現されるため、シンプレクティック多様体上で方程式（例えばハミルトン方程式）を立てたり、性質を解析したりする際に非常に強力なツールとなります。局所的に標準形に帰着できるという性質は、シンプレクティック多様体上の計算や理論構築の基礎を与えます。

関連概念

ダルブー座標の概念は、19世紀フランスの数学者であるジャン・ガストン・ダルブーによって確立されたダルブーの定理に由来します。この定理と座標系は、現代数学の重要な分野であるシンプレクティック幾何学の中核をなすものです。また、シンプレクティック形式の定義やダルブーの定理の表現に不可欠な概念として、微分形式とそれらのウェッジ積があります。

ダルブー座標は、数学だけでなく、物理学における古典力学の幾何学的理解や、場の理論などの高度な分野においても基礎的な役割を果たしています。これらの分野では、相空間が自然にシンプレクティック多様体の構造を持ち、ダルブー座標がその解析の出発点となることが多々あります。

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