シンプレクティック多様体

シンプレクティック多様体とは

シンプレクティック多様体は、数学の一分野であるシンプレクティック幾何学において中心的な役割を果たす概念です。これは、滑らかな多様体上に定義された特別な2形式であるシンプレクティック形式を備えた空間です。この形式は、非退化性と閉形式という重要な性質を持ちます。

シンプレクティック形式の定義

多様体 M 上のシンプレクティック形式 ω は、以下の条件を満たす2形式です。

非退化性: 任意の点 p ∈ M において、すべてのベクトル Y ∈ TpM に対して ω(X, Y) = 0 となるような非ゼロベクトル X ∈ TpM が存在しないこと。
閉形式: 外微分 dω = 0 を満たすこと。

シンプレクティック形式が存在するためには、多様体の次元が偶数である必要があります。これは、奇数次の反対称行列が正則にはなり得ないという事実から導かれます。

シンプレクティック多様体の例

最も基本的な例は、シンプレクティック線形空間 R^(2n) です。この空間上では、標準的なシンプレクティック形式を定義できます。

他にも、多様体の余接束は自然にシンプレクティック多様体の構造を持ちます。これは、古典力学における相空間のモデルとして重要な意味を持ちます。

古典力学との関係

シンプレクティック多様体は、古典力学、特にハミルトン力学の数学的な基礎を提供します。ハミルトニアンと呼ばれるエネルギー関数を定義することで、系の時間発展を記述するハミルトン方程式を導き出すことができます。ハミルトン力学では、系の状態はシンプレクティック多様体上の点として表され、系の時間的な変化はこの多様体上の流れとして記述されます。

部分多様体

シンプレクティック多様体の中には、特別な性質を持つ部分多様体が存在します。

シンプレクティック部分多様体: 元のシンプレクティック形式を制限したものが、それ自身シンプレクティック形式となる部分多様体。
等方的部分多様体: シンプレクティック形式の制限がゼロとなる部分多様体。
余等方的部分多様体: 等方的部分多様体の双対。
ラグランジュ部分多様体: 最大の等方的部分多様体。次元は元の多様体の次元の半分です。ラグランジュ部分多様体は、古典力学や量子力学において重要な役割を果たします。

ラグランジュファイバー構造とラグランジュ写像

シンプレクティック多様体 M のラグランジュファイバー構造とは、ファイバー構造の各ファイバーがラグランジュ部分多様体となるものです。

ラグランジュはめ込み i: L ↪ K によって与えられるシンプレクティック多様体 (K, ω) のラグランジュ部分多様体 L と、K のラグランジュファイバー構造 π: K ↠ B があるとき、合成写像 (π ∘ i): L ↪ K ↠ B はラグランジュ写像と呼ばれます。

特殊化と一般化

シンプレクティック多様体は、他の幾何学的構造と関連しています。

概ケーラー多様体: シンプレクティック形式と両立する概複素構造を持つ多様体。
ポアソン多様体: シンプレクティック多様体の一般化であり、シンプレクティック形式が必ずしも非退化である必要はありません。

さらに、シンプレクティック多様体の概念は、多重シンプレクティック多様体や高次シンプレクティック多様体へと一般化されています。

まとめ

シンプレクティック多様体は、数学と物理学の深いつながりを示す魅力的な概念です。その幾何学的構造は、古典力学の基礎を支え、現代的な数学の研究においても重要な役割を果たしています。

参考文献

Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
Maurice de Gosson: Symplectic Geometry and Quantum Mechanics (2006) Birkhäuser Verlag, Basel ISBN 3-7643-7574-4.
Alan Weinstein (1971). “Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds”. Adv Math 6 (3): 329–46. doi:10.1016/0001-8708(71)90020-X.
Hitchin, Negel (1999). “LECTURES ON SPECIAL LAGRANGIAN SUBMANIFOLDS”. Studies in advanced mathematics. On arxiv url=https://arxiv.org/abs/math/9907034
深谷 賢治: シンプレクティック幾何学 岩波書店, 現代数学の展開 8, ISBN 4-00-010658-9

外部リンク

Ü. Lumiste (2001), “Symplectic Structure”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886
* Examples of symplectic manifolds - PlanetMath.org

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