シンプレクティック幾何学

シンプレクティック幾何学

シンプレクティック幾何学は、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学の一分野です。解析力学を起源とし、現代数学の様々な分野と深く関わっています。

歴史と解析力学

シンプレクティック幾何学の歴史は、ハミルトンの力学に遡ります。ニュートン力学がオイラーやラグランジュによって解析力学へと発展する中で、ハミルトンは運動方程式を配位空間の余接バンドル上で捉えるハミルトン形式を導入しました。この空間は位置座標と運動量を変数とする相空間とも呼ばれます。ハミルトンの変分原理によれば、運動は作用積分の停留点として与えられ、シンプレクティック形式を用いることで、変分原理を経由せずに正準方程式を導出できます。

対称性と可積分系

ハミルトン形式は、方程式の対称性が高く、一般化座標と一般化運動量を独立に扱えるため、系の対称性や可積分性を調べる上で有利です。ネーターの定理は、系の対称性と第一積分（保存量）の存在との関係を示しており、ハミルトン形式に対しても同様に適用できます。系が十分な第一積分を持つ場合、方程式は求積可能となり、そのような系は可積分系と呼ばれます。代表的な可積分系としては、ケプラー問題、調和振動子、戸田格子などが挙げられます。

量子力学との関わり

20世紀初頭の量子力学の誕生は、シンプレクティック幾何学に新たな展開をもたらしました。ハイゼンベルクの行列力学やシュレディンガーの波動力学においても、シンプレクティック幾何学の概念が重要な役割を果たしました。正準量子化はユークリッド空間では有効な方法ですが、一般の多様体上では適用が難しいという問題があります。ディラックは幾何学的量子化の問題を提起し、シンプレクティック多様体上の量子力学の構成を目指しました。この問題は、空間の量子化を考える非可換幾何学とも深く関わっています。

シンプレクティックトポロジー

グロモフは概正則曲線の概念を導入し、シンプレクティック幾何学を大域的トポロジーの一分野であるシンプレクティックトポロジーへと発展させました。グロモフの非圧縮定理は、シンプレクティック埋め込みに関する重要な結果であり、概正則曲線を用いて証明されています。エケランドとホファーはシンプレクティック容量の概念を提唱し、シンプレクティック多様体の研究に新たな視点をもたらしました。

アーノルド予想とフレアーホモロジー

アーノルド予想は、ハミルトン力学系の周期解の個数評価に関する予想であり、シンプレクティック多様体上の不動点定理としても捉えられます。フレアーはシンプレクティック多様体が単調である場合にアーノルド予想を解決し、フレアーホモロジーを構成しました。フレアーホモロジーは、ハミルトン系の周期軌道だけでなく、低次元多様体上のゲージ理論やラグランジュ部分多様体の交叉理論にも応用されています。

著名な数学者

シンプレクティック幾何学の発展に貢献した主な数学者には、ウラジーミル・アーノルド、ミハイル・グロモフ、ウィリアム・ローワン・ハミルトン、深谷賢治、アンドレアス・フレアー、小野薫などがいます。

シンプレクティック幾何学は、解析力学を起源とする古典的な分野でありながら、現代数学の様々な分野と深く結びつき、活発な研究が行われています。

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