チェバの定理

チェバの定理

チェバの定理（Ceva's theorem）は、平面幾何学における中心的な定理の一つで、三角形とその頂点から内部あるいは外部の点を経て対辺に引かれた線分の関係を示します。この定理は、イタリアの数学者ジョバンニ・チェバが1678年に彼の著書『De lineis rectis（直線について）』の中で発表し、証明を与えたことにその名を由来しています。

しかし、近年の研究により、この定理の数学的な内容はそれよりも遥か昔、11世紀のイベリア半島、サラゴサ王国の数学者ユースフ・アル＝ムウタマン・イブン・フド（Yusuf al-Mu'taman ibn Hud）が著した数学全書『Kitab al-lstikmal（完成の書）』の中に既に含まれていたことが明らかになっています。

定理の内容

三角形ABCを考えます。この三角形の内部または外部に任意の点Oをとります。次に、頂点A、B、Cと点Oを結ぶ直線AO、BO、COをそれぞれ引き、これらの直線が対辺BC、CA、ABと交わる点をそれぞれD、E、Fとします。ここで、点Dは直線AOと直線BCの交点、点Eは直線BOと直線CAの交点、点Fは直線COと直線ABの交点です。このとき、以下の等式が成り立ちます。

$${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$$

ここで、線分の長さは向きを考慮しない絶対値として扱われることが多いですが、符号付きの長さとして定義する場合もあります。符号付きで考えると、点Oが三角形の内部にある場合は全ての比が正となり積は正の1、外部にある場合は比の一部が負となり積は正の1（あるいは負の1）となりますが、一般的に用いられる無向線分の比によるチェバの定理の主張は上記の等式です。

証明の概略

チェバの定理にはいくつかの証明方法が存在しますが、ここでは代表的な二つのアプローチを紹介します。

面積比を用いた証明

一つの基本的な証明方法は、三角形の面積の比を利用するものです。同じ高さを持つ二つの三角形の面積比は、その底辺の長さの比に等しいという性質を用います。例えば、点Fが辺AB上にある場合、三角形AFOと三角形BFOは共通の高さを持つため、AFとFBの比はこれらの三角形の面積比に等しくなります。

$${\frac {AF}{FB}}={\frac {\triangle AFO}{\triangle BFO}}$$

同様に、三角形AFCと三角形BFCについても共通の高さを持つため、面積比を利用できます。

$${\frac {AF}{FB}}={\frac {\triangle AFC}{\triangle BFC}}$$

これらの二つの式から、分数式の性質（a/b = c/d = (a-c)/(b-d)）を用いて、AF/FBが三角形AOCと三角形BOCの面積比に等しいことが導かれます。

$${\frac {AF}{FB}}={\frac {\triangle AOC}{\triangle BOC}}$$

同様の議論を線分BD/DCとCE/EAについても行うと、それぞれが△BOA/△COA、△COB/△AOBの面積比に等しいことが分かります。

$${\frac {BD}{DC}}={\frac {\triangle BOA}{\triangle COA}},\quad {\frac {CE}{EA}}={\frac {\triangle COB}{\triangle AOB}}$$

これらの三つの比を掛け合わせると、分子と分母に現れる三角形の面積が打ち消し合い、結果として1が得られます。これが面積比を用いた証明の基本的な流れです。

$${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {\triangle AOC}{\triangle BOC}}\cdot {\frac {\triangle BOA}{\triangle COA}}\cdot {\frac {\triangle COB}{\triangle AOB}}=1$$

メネラウスの定理を用いた証明

もう一つの elegant な証明方法は、メネラウスの定理を利用するものです。メネラウスの定理は、一つの直線が三角形の各辺（またはその延長）と交わる点に関する定理です。

三角形ACFに対して、直線BOEが辺AC（E）、CF（O）、FA（Bの延長）と交わるとみなすと、メネラウスの定理より次の式が成り立ちます。

$${\frac {AB}{BF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$$

次に、三角形BCFに対して、直線AODが辺BC（D）、CF（O）、FB（Aの延長）と交わるとみなすと、メネラウスの定理より次の式が成り立ちます。

$${\frac {BA}{AF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}=1$$

これら二つのメネラウスの定理による式を適切に操作（例えば、一方の式を他方の式で割るなど）することで、チェバの定理の等式 ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ を導くことができます。

チェバの定理の逆

チェバの定理には逆が成り立ちます。すなわち、三角形ABCの辺AB、BC、CA上（またはその延長線上）にそれぞれ点F、D、Eをとったとき、これらの点のうち三角形の辺上にある点の数が1個または3個であり、かつ

$${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$$

という等式が成り立つならば、3直線AD、BE、CFは必ず1点で交わるか、または互いに平行であるという結論が得られます。射影幾何学の観点から「平行である」という状態を「無限遠点において交わる」と解釈すれば、「3直線AD、BE、CFは常に1点で交わる」と簡潔に表現することも可能です。

関連事項

チェバの定理は、三角形の中心（重心、内心、外心、垂心など）が一点で交わる直線（チェバ線）によって特徴づけられることを証明する際にしばしば利用されます。また、メネラウスの定理とは双対の関係にあり、平面幾何学における基本的な道具として広く応用されています。これらの定理は、古典的な幾何学の問題を解くだけでなく、現代のコンピュータグラフィックスや他の分野でもその考え方が応用されることがあります。

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