逆

命題の逆、裏、対偶

数学における論理学では、命題の真偽を正確に扱うことが重要です。ある命題「pならばq」に対して、その真偽を検証する際に、「逆」「裏」「対偶」といった概念が用いられます。これらの概念を理解することで、論理的な推論を行うことができます。

命題の逆

命題「pならばq (p⇒q)」に対して、「qならばp (q⇒p)」を「逆」と言います。重要なのは、元の命題が真であったとしても、その逆が必ずしも真とは限らない点です。例えば、「雨が降れば地面は濡れる」という命題は一般的に真ですが、その逆である「地面が濡れていれば雨が降っている」は必ずしも真ではありません。地面が濡れている原因は、雨以外にもホースの水撒きなど様々考えられます。このことから、命題とその逆の真偽は一致しないことが分かります。日常会話では「逆もまた真である」という表現が使われることがありますが、数学的な厳密性からは外れます。p⇒qとq⇒pが共に真であるとき、pとqは同値（必要十分条件）であると言えます。

命題の裏

命題「pならばq (p⇒q)」に対して、「pでないならばqでない(¬p⇒¬q)」を「裏」と言います。また、命題「pならばq」の逆「qならばp」の対偶「pでないならばqでない」も裏に等しくなります。全ての命題において、逆と裏は真偽が一致するという重要な性質があります。

命題の対偶

命題「pならばq (p⇒q)」に対して、「qでないならばpでない(¬q⇒¬p)」を「対偶」と言います。対偶は元の命題と真偽が常に一致します。これは、論理学における重要な定理であり、証明や反証に広く利用されています。例えば、「雨が降れば地面は濡れる」という命題の対偶は「地面が濡れていないならば雨が降っていない」となり、これも真です。この性質を利用することで、元の命題の証明が難しい場合でも、その対偶を証明することで間接的に元の命題を証明することができます。

後件肯定の誤謬

「pならばq」が真であるからといって、「qであるからpである」と結論づけるのは論理的誤謬です。これは「後件肯定の誤謬」と呼ばれ、日常会話ではしばしば起こりがちな間違いです。例えば、「雨が降れば地面は濡れる」という命題が真であったとしても、「地面が濡れているから雨が降っている」と断定することはできません。

まとめ

命題とその逆、裏、対偶の関係を理解することは、論理的な思考や数学的証明において非常に重要です。それぞれの概念の真偽を正確に把握し、後件肯定の誤謬を犯さないように注意する必要があります。これらの概念は、数学だけでなく、日常生活における論理的な思考を養う上でも役立ちます。

関連文献

前原昭二『記号論理入門』安東祐希 補足（新装版）、日本評論社〈日評数学選書〉、2005年12月。ISBN 978-4-535-60144-4。
矢野健太郎『新しい数学』岩波書店〈岩波新書 青版 G-8〉、1966年2月21日。ISBN 4-00-416008-1。

関連項目

裏
後件肯定
後件否定
対偶
* コトバンク：逆 (数学)

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