ツァイゼル数

ツァイゼル数について

ツァイゼル数（英: Zeisel number）とは、3つ以上の異なる正の素数の積であり、特定の整数条件を満たす数を指します。その条件は、整数 A と B に対して次の式に従うことです：

$$ p_{i} = A imes p_{i-1} + B \quad (i=1, \cdots, k) $$

ここで、便宜上 p0 は 1 と定義されます。このように定義されたツァイゼル数の中で、最も小さいものは 105 であり、これは 3、5、7 の積です。具体的には、A=1 および B=2 と設定することで次のように計算されます。

• - p1 = 1 × 1 + 2 = 3
• - p2 = 1 × 3 + 2 = 5
• - p3 = 1 × 5 + 2 = 7

このように、小さいツァイゼル数を順番に列挙すると、105, 1419, 1729, 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559 などが得られます（オンライン整数列大辞典の数列 A51015 参照）。

この数の定義から、A は常に正の整数でなければなりませんが、B は負の値をとることも許可されています。例えば、1419 という数は A = 4 および B = -1 の場合に条件を満たします。

特に、このツァイゼル数の中に有名な1749という数が含まれています。この数は、カーマイケル数としても知られ、ある特定の条件を満たす素数の組み合わせから生成されます。具体的には、6m + 1, 12m + 1, 18m + 1 がすべて素数であるならば、その積 $(6m + 1)(12m + 1)(18m + 1)$ はカーマイケル数となることが知られています。実際に、1729 = 7 × 13 × 19 はこの形式で m = 1 を取った場合の結果です。

また、1729 に対応する A と B もそれぞれ A=1, B=6m に対して条件を満たしており、ツァイゼル数でもあります。このように、ツァイゼル数でありかつカーマイケル数である数は次のように列挙されます：1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601 など（A33502 参照）。

この「ツァイゼル数」という名称は、数学者ヘルムート・ツァイゼル（Helmut Zeisel）に由来しています。1994年に、数学のウェブサイト MathPages を運営するケヴィン・ブラウン（Kevin Brown）が、特定の式に対して素数が成り立つ k の値に疑問を投げかけ、ツァイゼルは k = 1885 に対して素数である解を示しました。これを経て、ブラウンはその数の因子同士に成り立つ性質を見出し（A = 2, B = 3 に基づく）、この性質を持つ数をツァイゼル数と名付けました。

ですが注意すべき点は、全てのツァイゼル数が常に 2k−1 + k が素数であるわけではありません。2012年の時点で、2k−1 + k が素数となる k の具体的な値は 1, 3, 7, 237, 1885, 51381, 75765 のみが知られており、30万以下の数字ではこれらだけが確認されています（数列 A061421 参照）。

このように、ツァイゼル数は数学の中でも特に興味深い性質を持つ数列であり、さらなる研究が期待されています。

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