ツィオルコフスキーの公式

ツィオルコフスキーの公式

ツィオルコフスキーの公式とも呼ばれるこの公式は、1897年にロシアの宇宙科学者コンスタンチン・ツィオルコフスキーによって提唱された、ロケットの推進に関する基礎的な方程式です。この公式は、ロケットの初期質量と時間経過後の質量を用いて、ロケットが得られる速度変化を算出するものです。

公式の表現

ロケットの初期質量を m0、時間 T 経過後の質量を mT、噴射剤の速度を w とすると、ロケットの速度変化分 ΔV は以下のように表されます。

$$
ΔV = w \, ext{ln} \left( \frac{m_{0}}{m_{T}} \right)
$$

この式において、ln は自然対数を示し、m0/mT は質量比と呼ばれます。この質量比が大きいほど、ロケットはより高い最終速度に達することができます。

導出の過程

ロケットの質量を m、推進剤の噴射速度を w と仮定し、微少時間 Δt の間に噴射する推進剤の質量を Δmとします。噴射による増速度を Δv とすると、運動量保存則が成り立ち、以下の式に整理されます。

$$
(m + Δm) v = m (v + Δv) + Δm (v - w)
$$

この式を整理すると、次のような関係が得られます。

$$
m Δv = w Δm
$$

さらに微分方程式として考えることで、増速度の合計を求めるために式を変形し、次のようになります。

$$
\int d v = -w \int \frac{1}{m} d m
$$

ここからロケットの初速度を 0、初期の質量を m0、時間 T 経過後の質量を mT として解くと、

$$
v = w \, ext{ln} \left( \frac{m_{0}}{m_{T}} \right)
$$

が導かれます。

噴射速度と質量比

この公式から見て取れるように、ロケットの到達速度を増加させるためには、噴射速度 w または質量比 m0/mT を向上させる必要があります。具体的には、ロケットの性能を示す数値として比推力 Isp が導入され、重力加速度 g との関係が次のように整理されます。

$$
v = I_{sp} g \, ext{ln} \left( \frac{m_{0}}{m_{T}} \right)
$$

実例

例 1: 打ち上げ時の質量

LE-7Aエンジンを用いた 60t の SSTO を考えると、衛星軌道に到達するには約 7.9 km/s まで加速する必要があります。このため、打ち上げ時の総質量 m0 を次の式で求めることができます。

$$
m_{0} = m_{T} \, ext{exp} \left( \frac{ΔV}{I_{sp} g} \right) = 374.8 \, t
$$

したがって、必要な推進剤の最低質量は 315t であることがわかります。これは、燃料タンクやエンジンなどの構造物に必要な質量も含まれています。ここでの質量比は6.25です。

例 2: 多段式ロケット

次に、LE-7Aエンジンを使用した異なる構成の2段式ロケットを考えます。1段式ロケットでは約 6.9 km/s の速度変化が得られましたが、質量比が同じ2段式ロケットでは、次のように速度増分 ΔV を求めることができます。

$$
ΔV = I_{sp1} g \, ext{ln} \left( \frac{m_{01}}{m_{T1}} \right) + I_{sp2} g \, ext{ln} \left( \frac{m_{02}}{m_{T2}} \right) = 9.14 \, km/s
$$

このように、多段式ロケットは同じ質量比でも、より大きな速度を得ることが可能です。

注意点

この公式は、全てのロケットの性能を正しく評価するための基礎的な理論を提供しますが、実際の打ち上げにおいては、重力の影響や空気抵抗といった要因も考慮しなければなりません。したがって、特に重要な第一段のエンジンの評価には、より詳細な模型とデータを用いるべきです。

参考文献

• - 松浦晋也『われらの有人宇宙船-日本独自の宇宙輸送システム「ふじ」-』裳華房、2003年。ISBN 4-7853-8758-0

このように、ツィオルコフスキーの公式は、ロケットの設計や性能評価において非常に重要な役割を果たしています。

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