テイト・シャファレヴィッチ群

テイト・シャファレヴィッチ群（Tate–Shafarevich group）は、数論幾何学において重要な役割を果たす群であり、代数体 K 上に定義されたアーベル多様体 A やより一般的な群スキームに関連しています。この群は、記号
Š(A/K) で表され、ヴェイユ・シャトレ群と呼ばれる群 WC(A/K) = H1(GK, A) の元の中から、K のすべての完備化において自明となるものの集合として定義されます。具体的には、ガロアコホモロジーを用いて次のように記述されます：

$$igcap_{v} ext{ker}(H^{1}(G_{K},A)
ightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}))$$

この群は、サージ・ラング、ジョン・テイト、イゴール・シャファレヴィッチの三人によって考案されました。初めて
Š(A/K) という表記が使われたのは、キャッセルズによるものであり、それ以前は TS という略記が用いられていました。

テイト・シャファレヴィッチ群の元

幾何学的な視点から見ると、テイト・シャファレヴィッチ群の自明でない元は、体 K のすべての素点 v に対して Kv に有理点が存在するが、K には有理点を持たないアーベル多様体の等質空間と解釈できます。したがって、この群は体 K を係数とする有理方程式について、ハッセの原理がどの程度成立しないかを測る指標となります。たとえば、Lind は1940年に種数1の曲線 x^4 - 17 = 2y^2 が有理点を持たない一方で、実数体とすべての p 進体において解を持つ例を示しました。また、Selmer は1951年に多くの例を提示しました。

特に有限位数 n を持つ点からなる有限群スキームに関しては、テイト・シャファレヴィッチ群はセルマー群と深い関係があります。

テイト・シャファレヴィッチ予想

テイト・シャファレヴィッチ予想とは、テイト・シャファレヴィッチ群は有限であるとする予想を指します。この予想は、カール・ルービンによって虚数乗法を持つ階数1以下のある楕円曲線に対して証明され、さらにヴィクター・コリヴァギンがこれを解析的階数が1以下の有理数体上でのモジュラーな楕円曲線に拡張しました。この予想は、後に証明されたモジュラー性定理によって常に満たされる条件となりました。

キャッセルズ・テイト対

キャッセルズ・テイト対（Cassels–Tate pairing）は、アーベル多様体 A とその双対 Â に対して定義される双線型形式で、次のように記述されます：

$$Š(A) × Š(Â) → Q/Z$$

キャッセルズは楕円曲線の場合にこのペアリングを導入しました。この場合、 A と Â は同一視できるため、交代形式となります。この形式の核は可除な元の生成する部分群であり、テイト・シャファレヴィッチ予想が正しければ、この群は自明であることが期待されます。テイトはこのペアリングを一般のアーベル多様体に拡張し、偏極を選ぶことで A から Â への写像を定め、この写像が Q/Z に値を持つ Š(A) 上の双線型対を誘導します。楕円曲線の場合と異なり、これは交代的であるとは限らず、歪対称的でもない可能性があります。

キャッセルズは楕円曲線の場合において、このペアリングが交代的であることを示しました。これにより、Š の位数が有限であれば、それは平方数であるとの結論が導かれます。しかし、一般のアーベル多様体に関しては、Šの位数が有限であれば平方数であるという信念が長い間誤思されていました。この誤解は、Tate の1963年の結果の一部の引用を誤解したSwinnerton-Dyerに端を発します。最近では、Poonen と Stoll が、位数が平方数の2倍である例を幾つか提供しました。たとえば、有理数体上の種数が2のある曲線のヤコビ多様体において、テイト・シャファレヴィッチ群の位数が2であるような例などが挙げられます。

アーベル多様体が主偏極を有する場合、Š 上のこの形式は歪対称性を持ち、これにより、Š の位数が（もし有限であれば）平方数またはその2倍であることが示されます。

主偏極が有理因子から生成される場合、これは交代的であり、有限ならば Š の位数は平方数となります。

テイト・シャファレヴィッチ群