代数体

代数体の概要

代数体（だいすうたい）は、数学の体論及び代数的整数論において重要な概念です。これは有理数体（Q）の有限次代数拡大体を意味し、記号では K と表されます。代数体 K の有理数体への拡大次数を [K:Q] と呼び、この次数が n の場合、K は n 次の代数体とされます。特に、2次の代数体を二次体と呼び、1のベキ根を追加したものを円分体と称します。

基本的性質と構造

n次の代数体 K は、単拡大であり、具体的には K の元 θ が存在し、K の任意の元 α は θ の多項式によって表現できます。θ が n 次の代数的数であるため、K を Q 上のベクトル空間と考えた場合、{1, θ, ..., θ^(n-1)} が基底になるとされます。

整数環

n次の代数体 K に含まれる代数的整数の全体は O_K で表され、これは整域であり K の整数環と言われます。この O_K は、有理整数環上でのランク n の自由加群を形成します。この場合、特定の元 ω_1, ..., ω_n が存在し、任意の O_K の元はこれらの元の有理整数を係数として表現されます。

また、O_K は整閉であり、K の元 β について、O_K はデデキント環であるという特徴を持っています。しかし、一般に O_K は一意分解整域ではありません。特定の代数体では、その整数環に関する数論的性質が深く研究され、特別な名称が付与されます。

例：ガウス整数とアイゼンシュタイン整数

• - ガウス整数: Q(√−1) の整数環 Z[√−1]。
• - アイゼンシュタイン整数: Q(√−3) の整数環 Z[(-1 + √−3)/2]。

代数体の拡張と共役体

代数体 K の元 α に対して、共役数を α^(1), ..., α^(n) と定義します。K が n 次の代数体で K = Q(θ) の場合、θ の各共役数 θ^(i) に対して、K^(i) = Q(θ^(i)) が共役体と呼ばれます。もし K の全ての共役体が K と等しい場合、K はガロア体、すなわちガロア拡大体となります。

共役体 K^(i) が実数部分体である場合、その共役体を実共役体、そうでない場合は虚共役体と称されます。共役体の数を r_1（実共役体の数）、r_2（虚共役体の数）とすると、n = r_1 + r_2 が成り立ち、r_2 は常に偶数です。すべての共役体が実共役体であれば、K は総実体と呼ばれ、すべてが虚共役体であれば総虚体と呼ばれます。

判別式とその性質

K の整基底 {ω_1, ..., ω_n} に対して、判別式 Δ(ω_1, ..., ω_n)^{2} を定義し、これは K に依存する重要な特性を持ちます。判別式は一般に非零の有理整数であり、代数体間に異なる判別式が存在し、特に代数体 K に対して、判別式の絶対値の上限があることが知られています。

イデアルとその性質

代数体上のイデアルは重要な構成要素であり、特にイデアルのノルムや素イデアルの性質が注目されます。各イデアルが定義されー、そのノルムは常に 1 以上の有理整数になります。分数イデアルの概念も含まれ、代数体 K の分数イデアルとして、特定の基底を持つことが求められます。

まとめ

代数体とその整数環、共役体、判別式などの概念は、代数的整数論における研究の核心であり、数論的性質の理解には不可欠な要素です。理論の発展は、基本的な結果や特別な体の特性を通じて進められており、代数体の探求は数学の多くの分野で重要な位置を占めています。

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