テンソル分解

テンソル分解

テンソル分解とは、テンソルをより低次元なテンソル（行列やベクトルを含む）の積和で表現する数学的手法のことを指します。これは、行列分解の概念をテンソルに拡張したもので、データ解析や機械学習、信号処理など、さまざまな分野で広く使用されています。

様々なテンソル分解手法

テンソル分解には多様なアプローチが存在しますが、ここでは特に有名な手法であるCP分解、タッカー分解、テンソルトレイン分解について詳しく説明します。

1. CP分解（CANDECOMP/PARAFAC分解）

CP分解は、テンソルを複数のベクトルのクロネッカー積（Kronecker product）の和として表現する方法です。この分解は、以下のように表されます。
$$
A = ext{∑}_{i=1}^{R} λ_{i} a_{i}^{1} ⊗ a_{i}^{2} ⊗ ext{⋯} ⊗ a_{i}^{m}
$$

ここで、テンソルAはm階であり、$a_{i}^{j}$は各次元のベクトル、$λ_{i}$は重みを表す係数です。この分解の利点は、圧縮された情報を保持しながらデータの解析を行うことができる点にあります。

2. タッカー分解

タッカー分解は、m階のテンソルをテンソルとベクトルのテンソル積の和として表現します。形式的には次のようになります。
$$
A = ext{∑}_{j_{1}=1}^{N_{1}} ext{∑}_{j_{2}=1}^{N_{2}} ext{⋯} ext{∑}_{j_{m}=1}^{N_{d}} s_{j_{1}, j_{2}, ext{⋯}, j_{m}} u_{j_{1}}^{1} ⊗ u_{j_{2}}^{2} ⊗ ext{⋯} ⊗ u_{j_{m}}^{m}
$$

この分解では、各次元のベクトルからなる直交行列が重要な役割を果たし、データの構造をより明確に理解することを助けます。

3. テンソルトレイン分解

テンソルトレイン分解は、テンソルを三階テンソルのテンソル積として表現する方法です。この手法は、量子力学の分野で特に重要であり、行列積状態（Matrix Product State, MPS）への変換とも関連しています。この分解の形式は以下の通りです。
$$
A_{j_{1} j_{2} ext{⋯} j_{m}} = ext{∑}_{i_{1}=1}^{R_{1}} ext{∑}_{i_{2}=1}^{R_{1}} ext{⋯} ext{∑}_{i_{m-1}=1}^{R_{m-1}} U_{i_{1} j_{1}} U_{i_{1} i_{2} j_{2}} ext{⋯} U_{i_{m-1} j_{m}}
$$

この分解は、テンソル内部の構造を効果的に解析・表現するために使用されます。

テンソル分解のアルゴリズム

テンソル分解を実現するためのアルゴリズムにはいくつかの方法があります。たとえば、CP分解では交互最小二乗法が使われ、タッカー分解ではHOSVD（高次固有値分解）やHOOI（高次直交反復法）が適用されます。テンソルトレイン分解にはTT-SVD（テンソルトレイン固有値分解）という手法が知られています。

これらのアルゴリズムは、データの次元を減少させつつ、本質的な情報を保持したまま計算を行うために設計されています。

結論

テンソル分解は、複雑なデータを効率的に解析するための強力なツールです。異なる分解手法によって、データの特性や構造を明らかにし、新たな知見を得る手助けをすることができます。研究者や実務者はこれらの技法を用いて、さまざまな応用を展開しています。

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