直交行列

直交行列：定義と性質

直交行列は、線形代数において中心的な役割を果たす特殊な正方行列です。その特徴は、転置行列が逆行列と一致することです。具体的には、n × n の行列 M の転置行列を M^T とすると、M^TM = MM^T = E という関係が成り立ちます。ここで、E は n 次の単位行列です。単位行列自身も直交行列に含まれます。

直交行列は、幾何学的な変換、特に回転や鏡映を表す際に頻繁に登場します。例えば、2次元空間における原点周りの回転変換は、直交行列を用いて表現できます。

直交行列の定義

n 次の正方行列 M が直交行列であるとは、その転置行列 M^T が M の逆行列 M^-1 と等しい、つまり M^T = M^-1 を満たすことをいいます。この条件は、M^TM = MM^T = E と同値です。

直交行列と内積

直交行列は、内積を保つ線形変換としても理解できます。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = v^Tw と定義します。行列 M によって v, w が Mv, Mw に変換されたとき、内積は以下のように保たれます。

(Mv, Mw) = (Mv)^TMw = v^TM^TMw = v^Tw = (v, w)

この式は、M が直交行列であることと、内積を変えない線形変換であることが同値であることを示しています。

直交行列の性質

直交行列は以下の重要な性質を持ちます。

正則行列である: 直交行列は逆行列を持つため、正則行列です。
積と逆について閉じている: 2つの直交行列の積、および直交行列の逆行列もまた直交行列になります。
行列式の値: 直交行列の行列式の値は +1 または -1 です。これは、det(A)² = det(A)det(A^T) = det(AA^T) = det(E) = 1 から導かれます。
ユニタリ行列である: 直交行列は、複素数の拡張であるユニタリ行列の特別な場合と考えることができます。
正規直交基底: n 次の直交行列 A を n 個の列ベクトル v₁, v₂, ..., v_n で表すと、これらのベクトルは正規直交基底を形成します。
ノルムの保存: n 次の直交行列 A と n 次の列ベクトル x について、‖Ax‖ = ‖x‖ が成り立ちます。ここで、‖•‖ はノルムを表します。

直交行列の例

直交行列の重要な例として、回転行列、置換行列、反射行列などがあります。

回転行列: 2次元ユークリッド空間における原点中心の θ ラジアン回転は、以下の直交行列で表せます。


[ cosθ -sinθ ]
[ sinθ cosθ ]


置換行列: 行列の行または列を入れ替える置換行列も直交行列となります。例えば、2次の置換行列は以下のように表せます。


[ 0 1 ]
[ 1 0 ]


* 反射行列 (ハウスホルダー行列): 単位ベクトル u に直交する超平面に関する鏡映変換を表す行列で、I を単位行列とすると、H = I - 2uu^T となります。

直交群と特殊直交群

n 次直交行列全体の集合は、n 次直交群と呼ばれ、O(n) と表記されます。行列式が 1 である直交行列全体の集合は、特殊直交群と呼ばれ、SO(n) と表記されます。SO(n) は回転群とも呼ばれ、回転変換を表す行列の集合となります。

関連概念

直交行列は、線形代数における様々な重要な概念と深く関連しています。例えば、特異値分解、QR分解、ユニタリ行列などが挙げられます。

まとめ

直交行列は、その転置行列が逆行列に等しい正方行列であり、線形代数および幾何学において重要な役割を担っています。回転、鏡映などの幾何学的変換、そして内積の保存といった性質を通じて、様々な数学的、物理的問題の記述に利用されています。この解説が、直交行列の理解の一助となれば幸いです。

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