ディリクレの判定法

ディリクレの判定法：級数の収束判定

ディリクレの判定法は、無限級数の収束性を調べるための強力なツールです。この判定法は、級数の項が二つの数列の積で表されている場合に適用でき、収束性を保証します。

判定法の主張:

二つの数列、[実数]]列{aₙ}と複素数列{bₙ}を考えます。これらの数列が以下の条件を満たすとき、級数Σ[n=1 to ∞は収束します。

1. {aₙ}は単調減少数列であり、
lim (n→∞) aₙ = 0
2. 任意の正整数Nに対して、部分和の絶対値が一定の値Mで抑えられている。つまり、
|Σn=1 to N| ≤ M

証明の概略:

証明は、部分積分法と比較判定法を組み合わせることで行われます。まず、級数の部分和Sₙを以下の式で表します。

Sₙ = Σk=1 to n

ここで、Bₙ = Σk=1 to nと置くと、部分積分法を用いてSₙを変形できます。

Sₙ = aₙ₊₁Bₙ + Σk=1 to n)

条件1より、aₙ₊₁Bₙはn→∞で0に収束します。また、条件2と数列{aₙ}の単調減少性から、Σ[k=1 to n]|Bₖ(aₖ - aₖ₊₁)|はM(a₁ - aₙ₊₁)で上から抑えられます。n→∞のとき、これはMa₁に収束します。よって、比較判定法により、Σ[k=1 to ∞]Bₖ(aₖ - aₖ₊₁)は収束します。したがって、Sₙも収束することが示されます。

応用：交代級数判定法とその他の応用例

ディリクレの判定法は、様々な[級数]]の収束性を判定する際に利用できます。特に、bₙ = (-1)ⁿ の場合、|Σ[n=1 to N| ≤ 1 となり、これは交代級数判定法として知られています。

また、{aₙ}が減少して0に収束する[実数]]列であれば、Σ[n=1 to ∞のような級数の収束性も判定できます。この判定法は、三角関数の級数の収束性を調べる上で非常に有効です。

さらに、アーベルの判定法はディリクレの判定法の特別な場合として見なすことができます。

広義積分への拡張:

ディリクレの判定法と類似した考え方は、[広義積分]]の収束性を調べる際にも適用できます。関数fとgが以下の条件を満たすとき、広義積分∫[a to ∞g(x))dxは収束します。

1. 任意の積分範囲a, b]において、|∫[a to bdx)|が一定の値で上から抑えられている。
2. g(x)は非負値で単調非増加関数

まとめ:

ディリクレの判定法は、無限級数の収束性を判定する上で強力なツールです。その簡潔さと応用範囲の広さから、解析学において重要な役割を果たしています。交代級数判定法や、三角級数の収束性の判定など、様々な場面で利用され、数学における基礎的な定理の一つです。 この判定法の理解は、級数の収束性に関する深い理解につながります。

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