デカルトの符号法則

デカルトの符号法則

デカルトの符号法則は、実数係数を持つ一変数の多項式に関し、その根の数の上限を定める重要な法則です。この法則は、ルネ・デカルトの著書『方法序説』の付録『La Géométrie』において初めて紹介され、後にカール・フリードリヒ・ガウスによってさらに発展されました。法則が示すのは、根の個数の上限であり、正確な根の数を明示するものではない点が大切です。デカルトの符号法則は、ブダンの定理の特別なケースとして理解されることもあります。

概要

この法則は、一変数多項式の係数を冪乗が降順に並べた際、その係数の符号の変化を分析することで機能します。係数がゼロである項は無視し、符号の変化がいくつあるかに着目します。たとえば、次のような多項式を考えます。

$$ f(x) = x^3 + x^2 - x - 1 $$

この多項式の符号の変化は、(++) → (+-) → (--)となり、符号の変化は1回だけ起こります。このことから、根の個数は重根を含めて数えることに注意しながら評価されます。

デカルトの符号法則の詳細

実数係数の多項式 $$ f(x) $$ において、実数の正の根と負の根を次のように定義します。正の根は \( x > 0 \) の際の根、負の根は \( x < 0 \) の際の根です。さらに、$f(x)$ の係数の符号の変化回数を $$ T_{f(x)} $$ と呼びます。

正の根の数

正の根の数は $$ T_{f(x)} $$ を上限として持ちます。そして、ガウスによって示されたように、実際の根の個数とその偶奇は一致します。したがって、正の根の数は次のように表現できます。

$$ T_{f(x)} - 2n $$

ここで、n は $$ f(x) $$ が実数の範囲で因数分解された際に残る二次の冪が含まれる項の数です。

負の根の数

負の根の数は次のように表記され、同様の考え方が適用されます。

$$ T_{f(-x)} - 2n $$

これは、$f(x)$ ではなく $f(-x)$ に基づくものです。

例

例1

多項式 $$ f(x) = x^3 + x^2 - x - 1 $$ の根を考えます。実際の根は x = 1 と -1（二重根）であり、符号の変化は1回であるため、この多項式には正の根が1つ存在します。

負の根の数を調べるために、$f(-x)$ を計算し、符号の変化を確認します。

$$ f(-x) = -x^3 + x^2 + x - 1 $$

この多項式の符号の変化は2回であるため、負の根は2個か0個となります。実際には -1 が重根として存在するため、正確に2個の負の根があります。

例2

多項式 $$ f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 $$ を考えます。この場合、実数根は x = -1 です。符号の変化は0回であるため、正の根は存在しません。負の根の計算に進むと、$f(-x)$ の符号の変化は3回となり、負の根は3個か1個の可能性があります。実際には、-1の1つの根となるということが分かります。

複素根について

代数学の基本定理によれば、実数係数を持つ n 次の多項式は、基礎的な重複度を含めてちょうど n 個の複素根を持つことが明らかです。一方で、0でない実数根の最大数は $$ T_{f(x)} + T_{f(-x)} $$ で定義されます。このため、ある多項式が0を実数根として持たない場合、非実数根の個数最小値は次のように表せます。

$$ n - (T_{f(x)} + T_{f(-x)}) $$

特別な場合

根の数が2ずつ増減するのは、実数係数多項式において複素根がペアとして存在することに起因します。したがって、もし多項式が複素根を持たないと予め分かっていれば、正確な根の数を求めることができます。

発展

デカルトの符号法則は、無限級数や多変数多項式への応用があり、数学のさまざまな分野で重要な役割を果たしています。

もう一度検索