デーン平面

デーン平面

デーン平面は、20世紀初頭の数学者マックス・デーンによって提示された、非ユークリッド幾何学における二つの重要な例を指します。これらの幾何学体系、すなわち「半ユークリッド幾何」と「非ルジャンドル幾何」は、通常のユークリッド幾何や双曲幾何とは異なる特異な性質を示します。

特徴

デーン平面の最も注目すべき特徴は、以下の二点です。

1. 平行線公準の破綻: 平面上の一点を通る直線で、与えられた別の直線と交わらないものが無数に存在します。
2. 三角形の内角の和: 三角形の内角を合計すると、常に180度（πラジアン）以上になります。

これは、双曲幾何が平行線が無数に存在しつつも内角の和が180度未満であるのとは対照的です。デーン平面がこのような性質を持つ背景には、アルキメデスの公理を満たさない、特殊な数体系が用いられていることがあります。

構成の基盤：非アルキメデス的順序体 Ω(t)

デーンはこれらの幾何学を構築するために、「非アルキメデス的順序体」と呼ばれる数体系を利用しました。具体的には、実数係数を持つ1変数有理関数体 R(t) のピタゴラス閉包である Ω(t) を使用しています。これは、実数定数関数と変数 t そのものを含み、任意の元 ω に対して √(1 + ω²) もまたこの体に含まれるという性質を持つ最小の関数体です。

Ω(t) 上の順序は、二つの元 x と y に対して、「十分大きな任意の実数 t に対して x(t) > y(t) が成り立つとき x > y である」と定義されます。この定義により、Ω(t) には通常の意味での実数とは異なる「無限大」や「無限小」のような要素が存在します。

• - 有限な元: ある整数 m, n が存在し、m < x < n となるような Ω(t) の元 x を有限と呼びます。
• - 無限大の元: 有限でない元を無限大と呼びます。

この Ω(t) はアルキメデスの公理を満たしません。アルキメデスの公理とは、「どんなに小さな正の数でも、それを十分回数だけ足し合わせれば、どんなに大きな数よりも大きくなる」という性質ですが、Ω(t) においては、無限小の元は有限回足しても有限な元を超えることはありません。

デーンの半ユークリッド幾何

デーンの半ユークリッド幾何は、この Ω(t) を座標とする平面上の幾何として構築されます。点の座標は (x, y) (x, y ∈ Ω(t)) で表され、点間の距離は通常のユークリッド距離の公式 √(x² + y²) を用いて Ω(t) の値として定義されます。

Ω(t) 全体を対象とした場合、この空間は平行線公準を満たすユークリッド幾何のように振る舞います。しかし、この平面上の「有限な点」のみ、つまり座標 x, y が共に Ω(t) において有限である点に限定して幾何を考察すると、興味深い現象が現れます。一点を通り、与えられた直線と交わらない直線は無限に存在（平行線公準の破綻）するにもかかわらず、構成されたどの三角形の内角の和も正確に180度となります。これは、通常のユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の中間的な性質を示す例と言えます。

デーンの非ルジャンドル幾何

デーンは同じ論文の中で、非ルジャンドル幾何の例も提示しました。これも Ω(t) を基盤としますが、半ユークリッド幾何とは異なる方法で構築されます。Ω(t) 上のリーマン幾何、特に射影平面を考え、そのアファイン部分空間のうち特定の条件を満たす点（具体的には、射影座標 (x:y:1) において tx と ty が共に Ω(t) の有限な元となる点）に限定して幾何を考察します。

この幾何においても、一点を通り与えられた直線と交わらない直線は無限に存在し、平行線公準は破れています。しかし、半ユークリッド幾何と異なり、三角形の内角の和は常に180度を超えます。これは、ルジャンドルの定理（三角形の内角和は高々180度である）がアルキメデスの公理を前提としていることを示唆しており、デーンの例はアルキメデスの公理が成立しない場合にはルジャンドルの定理が成り立たない可能性があることを具体的に示したものとして重要です。

デーンによるこれらの幾何学の構成は、幾何学の公理系の独立性や、アルキメデスの公理が幾何学的性質に与える影響を深く理解する上で、歴史的に重要な貢献となりました。これらの内容は、マックス・デーンの1900年の論文や、ヒルベルトの「幾何学の基礎」などで論じられています。

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