平行線公準

平行線公準：幾何学の礎を築いた公準とその歴史

ユークリッド幾何学において特筆すべき公準、それが平行線公準です。ユークリッド原論の第5公準としても知られ、2次元幾何学における直線の交差条件を定めています。この公準は、ある直線と交わる2本の直線が、一方の側にある内角の和が180度より小さい場合、2直線は交わるというものです。

平行線公準と同値な命題

平行線公準は、一見すると直線に関するシンプルな記述ですが、実は多くの命題と同値です。代表的なものにスコットランドの数学者ジョン・プレイフェアの名前を冠したプレイフェアの公理があります。これは、「平面上に直線と、その直線上にない点が与えられたとき、その点を通り与えられた直線に平行な直線は、高々1本しか引けない」というものです。

他にも、三角形の内角の和が180度であること、相似な三角形が存在すること、ピタゴラスの定理などが平行線公準と同値であることが知られています。これらの命題は、一見平行線とは無関係にも見えるものも含まれており、平行線公準の深遠さを示しています。

「平行」の定義：3つの解釈

「平行」という言葉自体も、幾何学的には様々な解釈が可能です。代表的なものとして、「等距離に離れている」、「決して交わらない」、「第3の直線と等しい角度で交わる」の3つがあります。しかし、これらの定義が互いに同値であることは、実は平行線公準に依存しているのです。

ユークリッド空間においては、「決して交わらない」という定義が一般的に用いられています。他の2つの定義は、この定義から導かれる性質として扱われます。

平行線公準をめぐる歴史：2000年にわたる挑戦

2000年以上にわたり、数学者たちは平行線公準を他のユークリッドの公準から証明しようと試みました。その理由は、平行線公準が他の公準とは異なり、自明なものではなかったからです。

ギリシャ時代から、多くの数学者たちが証明に挑戦し、誤った証明を繰り返しました。その原因は、しばしば平行線公準と同値な命題を、自明なものとして暗黙に仮定していたことにありました。

アラビアの数学者、イブン・アル・ハイサムやウマル・ハイヤーム、ナスィールッディーン・トゥースィーなども平行線公準の証明に挑み、重要な貢献をしました。彼らは背理法を用いたり、新しい幾何学的図形を導入するなど、様々なアプローチを試みました。

17世紀から18世紀にかけては、サッケーリやランベルトが、平行線公準の否定から矛盾を導き出そうと試みました。彼らは、サッケーリの四角形やランベルトの四角形といった独自の図形を用いて研究を進め、非ユークリッド幾何学の萌芽となる結果も得ています。

しかし、真に決定的なのは19世紀のことです。ロバチェフスキー、ボーヤイ・ヤーノシュ、ガウスは独立に、平行線公準が成立しない非ユークリッド幾何学（双曲幾何学）を確立しました。彼らの発見によって、平行線公準はユークリッドの他の公準とは論理的に独立であることが示されたのです。

平行線公準の逆と批判

ユークリッドは平行線公準の逆を明示的には仮定していません。これはユークリッド幾何学と楕円幾何学を区別する重要な点です。平行線公準の逆は、錯角が等しい2直線が平行であるという命題で、これもユークリッド幾何学の重要な定理の一つです。

一方、哲学者アルトゥル・ショーペンハウアーは、平行線公準を論理的に証明しようとする試みを批判しました。彼は、平行線公準は感覚的に明らかであり、論理的に証明する必要はないという立場をとっていました。

まとめ

平行線公準は、一見シンプルな記述ながら、幾何学の歴史において極めて重要な役割を果たしました。その証明への試みは、非ユークリッド幾何学の発見という、数学史上の大きな転換点をもたらしました。平行線公準の研究は、幾何学の基礎を深く理解し、数学的思考の限界と可能性を探求する上で、重要な一歩であったと言えるでしょう。

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