ドッティ数

ドッティ数について

ドッティ数（Dottie number）は、方程式 cos x = x を満たす唯一の実数解であり、その近似値は約 0.739085 です。この数は、超越数であり、特に数学的な興味を引く存在です。実際、ドッティ数は関数 f(x) = cos x - x の不動点として特別な性質を持っており、この関数は無限に多くの複素数の解を持つものの、ドッティ数が吸引的な不動点です。つまり、ドッティ数に近い初期値を持つ場合、反復が行われると最終的にはドッティ数に収束します。

ドッティ数の計算

ドッティ数の理解を深めるためには、ラグランジュ反転公式を用いて、先ほどの関数 f(x) の無限級数表示について考えてみるのが良いでしょう。具体的には、以下の形を持っています。

$$
f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n \text{ odd}} a_n \pi^n
$$

ここで、anは奇数nに対して有理数として定義されています。このanの具体例として、最初のいくつかの値は-rac{1}{4}, -\frac{1}{768}, -\frac{1}{61440}, -\frac{43}{165150720} です。これらはドッティ数の計算において重要な役割を果たします。

ドッティ数の由来

ドッティ数という名称は、フランスの教授「Dottie」が計算機でコサインのボタンを何度も押しているうちにこの数にたどり着いたことから名付けられました。この数は特に興味深い点があり、計算機が角度を度数法で設定している場合、この数は 0.999847… に収束することになります。このように、ドッティ数は環境によってその値が変わるため、さまざまな文脈で議論されています。

ドッティ数の閉じた形

この数を別の形で表すことも可能で、例えば正則化不完全ベータ関数を利用して次のように表現できます。

$$
D = \sqrt{1 - (2I_{\frac{1}{2}}^{-1}(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) - 1)^2}
$$

また、ドッティ数の別の形式もあり、積分を利用した表現も存在します。例えば、次のような形になります。

$$
D = 1 - \left(1 - \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{16(z - \sinh(z))^2 + 12\pi^2}{\left(4(z - \sinh(z))^2 + 3\pi^2\right)^2 + 16\pi^2(z - \sinh(z))^2} dz\right)^{-1}\right)^2
$$

この数は、数学の多くの分野において、さまざまな定理や機能を示すために重要な役割を果たしています。

参考文献

この数に関連する多くの研究や文献が存在します。特に、T. H. Millerによる1890年の研究や、Valerii Salovの2012年の論文などが、その計算や性質について深く論じています。複雑な数学的性質を持つドッティ数は、今後も研究が続けられていくでしょう。このように、ドッティ数は数理的、歴史的、そして応用的な視点からも魅力的で、数学を愛する者にとっては畏敬の念を抱かせる対象です。

もう一度検索