有理数

有理数の概念とその特性

有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数同士の比として表せる実[[数]]のことを指します。具体的には、分母と分子が共に整数であり、分母は0ではない分数として表現されます。また、整数は分母が1の分数として解釈できるため、これは有理数の特別なケースとも言えます。

有理数の特徴

有理数を位取り記[[数法]]（例: 十進法）で表現すると、その小数形式は有限小数か循環小数のいずれかになります。どのようになるかは基数によって異なります。つまり、ある基数では有限小数として表現できる有理数も、別の基数では循環小数となる場合があります。有理数は、必ず有限な正則連分数展開を持つという特性もあります。全ての有理数の集合は、通常、太字「Q」で示されます。この「Q」は、イタリア人数学者のペアノによって1895年に商（英: quotient）を意味するイタリア語「quoziente」に由来しています。

数学において有理数を用いる際は、分数の形で表記することが一般的です。特に、分数 \\( \frac{a}{b} \\) の表記の背後にある整数の組 (a, b) は等しい様々な表現が存在しますが、定義される文脈に基づいて一意な形を選択して用います。

有理数の演算

有理数どうしの等しさは、整数の等式「\\( ad - bc = 0 \\)」によって確認されます。同時に、加法や乗法など、基本的な演算も定義されています。例えば、2つの有理数 \\( \frac{a}{b} \\) と \\( \frac{c}{d} \\) に対して、加法と乗法は以下のように定義されています：

• - 加法：

\\(rac{a}{b} + rac{c}{d} = rac{ad + bc}{bd}\\)

• - 乗法：

\\(rac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\\)

このように、有理数は四則演算に関して閉じた性質を持ち、「体」と呼ばれる代数系の一例です。

定義と構成

集合論の観点からは、整数全体の集合 Z から有理数の集合 Q を構成できます。最初に、分母が0でない整数の順序対 (a, b) を考え、特定の同値関係を定義すると、商集合 E/∼ が有理数の集合 Q となります。これにより、Q 内の加法や乗法が一様に定義されるため、合理性が確保されています。

抽象的性質

有理数体 Q は、標数0の体の中で最小のものとして扱われ、標数0の素体とも呼ばれています。加えて、有理数全体は可算無限集合であり、実[[数]]全体 R は非可算なため、濃度の意味においてはほとんど全ての実[[数]]が無理数であることが分かります。また、Q は稠密順序集合であり、任意の2つの有理数の間には他の有理数が無限に存在します。

位相的性質

有理数の集合 Q は、普通の大小関係によって順序位相を持つ一方、実[[数]]直線 R において部分空間としての位相も形成しています。これは、任意の実[[数]]に対して、その近くに有理数が存在することを意味します。有理数 Q における距離は実[[数]] R の相対的なものであり、この距離を元にした距離空間は、完備ではないものの独特の特性を持っています。

まとめ

有理数は、数論や代数の基盤として重要な役割を果たします。彼らの定義、特性、演算や位相的性質が示すように、数学の根本的な構成要素として広く使われています。特に、数の概念は他の数の範疇や代数的な構造を理解する上で重要です。

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