ドミノタイリング

ドミノタイリングは、数学、特に組み合わせ論やグラフ理論において研究される問題です。これは、ユークリッド平面上のある領域を、1×2の寸法の長方形である「ドミノ」で、隙間なく、かつ重なりなく敷き詰める操作を指します。この概念は、格子グラフにおける完全マッチングと等価であり、統計力学におけるダイマーモデル、すなわち格子点に二量体（ダイマー）が配置されるモデルの特定の状態と密接に関連しています。つまり、ドミノタイリングは、幾何学的な敷き詰め問題であると同時に、グラフ理論や物理学のモデルとしても捉えられます。

ドミノタイリングの構造を解析するために、格子の各頂点に整数値を割り当てる「高さ関数」が用いられます。格子をチェス盤のように色分けし、基準点からの経路に沿って、通過するドミノの左右にある正方形の色に応じて高さを増減させることで定義されます。この関数は、タイリングの大局的なパターンを理解する上で有効です。

与えられた領域がドミノタイリング可能であるかを判定する問題も重要です。ウィリアム・サーストンは、平面上の単連結な領域について、その境界を3次元の特定グラフ上の経路に対応させ、その性質を解析することで、タイリング可能性の必要十分条件を与えました。これにより、複雑な境界を持つ領域のタイリング可否を数学的に判定できます。

特定の領域に対して、可能なドミノタイリングの総数を数えることは、組み合わせ論における重要な問題です。m × nの長方形のタイリング数は、テンペリー、フィッシャー、キャステリンによって独立に厳密な公式が導出されています。特に有名な例として、2 × nの長方形のタイリング数はフィボナッチ数列の第n項に一致します。タイリング数の計算には、交代行列のパフィアンを用いる強力な手法があり、統計力学など他分野への応用も広く行われています。

ドミノタイリングの数は、対象領域の形状、特に境界条件に非常に敏感です。これを明確に示す例が「アステカダイアモンド」です。位数nのアステカダイアモンドのタイリング数は2のべき乗で与えられますが、その中央列の幅をわずかに変えるだけで、タイリング数は劇的に変化します。例えば、中央列を1列に縮小した領域では、タイリングはたった1通りしか存在しません。この事実は、形状という連続的な要素が、離散的なタイリングの数に大きな影響を与えることを示唆しています。

ドミノタイリングの研究は、純粋数学に留まらず、統計力学での相転移研究、確率論におけるランダムタイリング、さらには日本の伝統的な畳の敷き詰め方といった文化的な側面や、多重チェスボート問題のようなパズルとも関連しています。

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