ニュートン補間

ニュートン補間について

ニュートン補間（Newtonian interpolation）は、数値解析の分野で用いられる多項式補間手法の一つであり、アイザック・ニュートンにちなんで名付けられています。この手法は、ラグランジュ補間と同じ結果をもたらすものですが、計算方法が異なります。具体的には、ニュートン基底多項式を用いた線形結合によって多項式を構成します。そのため、ニュートン補間は、ラグランジュ補間多項式の特別な形式、すなわち「ニュートン形」と考えることが適切です。

定義

ニュートン補間では、まず k + 1 個のデータ点

$$(x_0, y_0), (x_1, y_1), ext{...}, (x_k, y_k)$$

を考えます（ここで、各 x_i は異なる値を持ちます）。これに対して、ニュートン補間多項式 N(x)は次のように表現されます：

$$N(x) = egin{pmatrix} y_0 \ y_0, y_1 \ ... \ y_0, ... , y_k \\ \\ (x - x_0) \ (x - x_1) ... (x - x_{k-1}) \ \\ ... \ \\ \\ \\ ... \\ \\ (x - x_k) ${ ext{ において }}$$

ここで、$n_j(x)$はニュートン基底多項式であり、以下のように定義されます：

$$n_j(x) = egin{pmatrix} ext{空積の規約に従い、} \ (x - x_0)(x - x_1)...(x - x_{j-1}) \ (j = 0, 1, ..., k) \\ \\ n_0 = 1 \ \\ で表されます$$

ニュートン補間では、各係数$a_j$は差商で定義され、次の形で表現されます：

$$a_j=[y_0, y_1, ..., y_j]$$

ニュートン補間定理

ニュートン補間の重要な特性の一つは、得られる多項式 N(x) が元のデータ点に基づくラグランジュ補間多項式と一致することです。すなわち、与えられた k + 1 個の点に対して、次数が高くとも k 以下の多項式は唯一無二です。これは、補間多項式が正確であることを保証する重要な理論的基盤です。

注意点

ニュートン補間では、ラグランジュ補間多項式が高次の多項式全体を含むベクトル空間に属します。そして、ニュートン基底 $n = (n_0, n_1, ..., n_k)$ は、実際にその基底として機能します。したがって、ニュートンの基底に関するラグランジュ多項式の変数の係数は、差商を用いて計算されます。

具体的には、ニュートン補間を直接解く際には、以下の形の線形方程式の系を解くことによって進めます：

$$egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \ 1 & x_1 - x_0 & 0 & 0 & ... & 0 \ 1 & x_2 - x_0 & (x_2 - x_0)(x_2 - x_1) & 0 & ... & 0 \ ... & ... & ... & ... & ... & ... \ 1 & x_k - x_0 & ... & ... & (x_k - x_{k-1}) \\ \\ = egin{pmatrix} a_0 \ a_1 \ ... \ a_k \\ \\ \\ \ y_0 \ y_1 \ ... y_k \\ \\ \\ \ \\ \\ \\ \\ \ \\ \\ }\ ext{に対して、a_0が決まれば、それによりa_1が得られる。}$

このシステムは階段形であるため、効率的に全ての係数を計算することが可能です。

応用

ニュートン補間の利点の一つは、新しいデータ点を追加する際、既存の係数を再計算せずに補間多項式を構成できる点です。また、点を変更しても全ての係数を再計算する必要が無くなる場合があります。データ点が均等に配置されていれば、差商の計算も迅速に行えるため、計算の効率性が向上します。このように、ニュートン補間は実用的な手法として多くの場面で重宝されています。

さらに、ニュートン補間定理によって、任意の多項式関数がそのニュートン級数と等しいことが証明可能です。

関連項目

• - ネヴィルのアルゴリズム
• - 多項式補間
• - ラグランジュ補間
• - バーンスタイン多項式
• - エルミート補間
• - カールソンの定理
• - ニュートン級数の一覧

参考文献

• - Weisstein, Eric W. “Newton's Divided Difference Interpolation Formula”. mathworld.wolfram.com
• - “Newton interpolation formula”, Encyclopedia of Mathematics

もう一度検索