ヌルベクトル

数学の分野において、二次形式 $q$ を伴うベクトル空間 $X$ を考えたとき、ゼロベクトル以外の要素 $x \in X$ で、$q(x)$ の値がゼロとなるものをヌルベクトル（nilpotent vector）または等方ベクトル（isotropic vector）と呼びます。

実数を係数とする二次形式の理論では、空間の幾何学的性質を特徴づける上で、ヌルベクトルの存在が重要な意味を持ちます。例えば、すべての非零ベクトルに対して二次形式の値がゼロにならない定符号二次形式（positive-definite or negative-definite）と、非零ヌルベクトルが存在する等方二次形式（isotropic quadratic form）とは明確に区別されます。等方二次形式を持つ空間は、そうでない定符号二次形式を持つ空間とは本質的に異なります。

非零のヌルベクトルを持つような二次空間 $(X, q)$ は、特に擬ユークリッド空間（pseudo-Euclidean space）として知られています。このような空間 $X$ は、特別な構造を持ち、多くの場合、互いに直交する二つの部分空間 $A$ と $B$ の直和として表現することができます。すなわち、$X = A \oplus B$ となります。このとき、二次形式 $q$ は部分空間 $A$ 上では正定値（ゼロベクトル以外で常に値が正）となり、部分空間 $B$ 上では負定値（ゼロベクトル以外で常に値が負）となるように分解できます。このような分解は、空間の符号（signature）を理解する上で不可欠です。

ヌルベクトルは、空間内で特別な集合を形成します。それがヌル円錐（null cone）または等方錐（isotropic cone）と呼ばれるものです。これは、前述の分解 $X=A\oplus B$ における要素 $x=a+b$ ($a\in A, b\in B$) のうち、二次形式の値が $q(a) = -q(b)$ となり、その共通の値 $r$ がゼロ以上の実数であるような点 $x$ 全体の集合として定義されます。幾何学的には、この錐は原点を頂点とする円錐のような形をしており、原点を通るすべての等方直線（原点と非零ヌルベクトルを通る直線）をすべて集めたものと考えることもできます。

ヌルベクトルは、様々な数学的、物理的な文脈で現れます。

最もよく知られた例の一つは、特殊相対性理論におけるミンコフスキー空間における光速ベクトル（light-like vector）です。これは、時空における光の伝播方向を示し、その“長さ”（ミンコフスキー二次形式によるノルム）がゼロであるため、ヌルベクトルに他なりません。
抽象代数においては、特定の双四元数の集合が二次形式に関してヌルベクトルとなることが知られており、これらが時空を記述するための基底の一部として用いられることがあります。
代数構造の一種である合成代数（composition algebra）は、非零のヌルベクトルを持つかどうかでその性質が大きく異なります。ヌルベクトルが存在する場合、その合成代数は分解型（split）と呼ばれ、そうでない場合は多元体（division algebra）となります。これは、代数の分類において重要な指標です。
リー代数の表現論において現れるヴァーマ加群（Verma module）と呼ばれる特定の加群の中にも、ヌルベクトルが存在します。これらのヌルベクトルは、ヴァーマ加群の構造や部分加群の関係性を理解する上で鍵となります。
* 時空の微分幾何学におけるニューマン–ペンローズの定式化（Newman–Penrose formalism）では、ヌルベクトルから構成される基底が頻繁に利用され、重力理論などの研究に用いられます。

このように、ヌルベクトルは単なる二次形式の零点ではなく、ベクトル空間や代数構造、さらには物理的な空間の性質を深く理解するための鍵となる概念です。

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