合成代数

合成代数：多元環の構造と分類

数学において、合成代数とは、特定の条件を満たす特殊な多元環です。より正確には、体 K 上の単位的多元環 A であって、乗法性条件

N(xy) = N(x)N(y) (∀x, y ∈ A)

を満たす非退化二次形式 N を持つものを指します。ここで、N はしばしばノルムと呼ばれ、A の元 x に対して N(x) = xx* と表されます。(x** は x の共軛元)。

この乗法性条件は、ノルムが積に関して保存されることを意味し、合成代数の重要な特徴です。ヌルベクトル（N(v) = 0 を満たす非零元 v ∈ A）の存在によって、合成代数は多元体（ノルム多元体）か分解型多元環のいずれかになります。ヌルベクトルが存在しない場合、非零元は乗法逆元を持ち、代数は多元体となります。逆に、ヌルベクトルが存在する場合、N は等方二次形式となり、代数は「分裂」または「分解型」であると言われます。

合成代数の構造定理と次元

標数 2 より大きい体 K 上の単位的合成代数は、ケーリー＝ディクソンの構成法を繰り返し用いることで構成できます（標数 2 の場合は、二次元の部分合成代数を用います）。この構成法により、合成代数は 1, 2, 4, 8 次元のいずれかしか取りません。

それぞれの次元における合成代数の性質は異なります。

一次元: 標数 2 以上の場合のみ存在し、可換かつ結合的です。
二次元: 可換かつ結合的で、K の二次拡大体か K ⊕ K のいずれかです。
四次元: 結合的ですが非可換で、K 上の四元数環と呼ばれます。
八次元: 非結合的かつ非可換で、K 上の八元数環と呼ばれます。

語法を統一する場合、一次元、二次元の合成代数をそれぞれ一元数環、二元数環と呼ぶこともあります。

例と用例

基礎体 K として複素数体 C を考えると、C 上の合成代数は、C 自身、双複素数環、双四元数環（複素 2 次正方行列環 M(2, C) と同型）、双八元数環（複素八元数環 C ⊗ O）の4種類が存在します。特に、双四元数環は、ハミルトンやパウリ代数として知られる重要な対象です。

基礎体として実数体 R* を考えると、実数体上の合成代数は、実数、複素数、四元数、八元数、およびそれらの分解型（分解型複素数、分解型四元数、分解型八元数）の計 8 種類が存在します。

歴史

合成代数の研究の歴史は古く、ディオファントスによる平方数の和に関する公式から始まります。オイラーの四平方和の公式、ハミルトンの四元数の発見、そしてケイリー数の発見へと繋がっていきました。

1919年、ディクソンはケーリー＝ディクソンの構成法を示し、四元数から八元数を構成しました。この構成法は、任意の体上で、パラメータ γ を用いることで一般化され、様々な合成代数を構成できるようになりました。

1923年、フルヴィッツの定理は、実合成代数において正定値二次形式をノルムに持つ場合の分類を与えました。その後も、ヤコブソンによる自己同型に関する研究など、合成代数の理論は発展を続けています。乗法単位元を持たない合成代数も発見されており、研究は現在も進められています。

関連事項

合成代数は、数論、幾何学、物理学など様々な分野で重要な役割を果たしています。フロイデンタールの魔方陣、フィスター形式、三対性といった概念とも深く関連しています。

もう一度検索