ネイピア数の無理性の証明

ネイピア数の無理性の証明

ネイピア数eが無理数であることは、1744年にレオンハルト・オイラーによって初めて証明されました。この証明は、円周率πの無理性の証明と比較して、比較的容易な方法で示すことができます。πの無理性が証明されたのは1761年であり、eの無理性の証明の方が歴史的に先行しています。

eの定義とテイラー展開

ネイピア数eは、以下のテイラー展開で定義されます。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

xに1を代入すると、eの値は次のようになります。

$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$

この無限級数を用いて、eが無理数であることを証明します。

背理法による証明

eが有理数であると仮定して矛盾を導く背理法を用います。eが有理数であれば、互いに素な自然数aとbを用いてe = a/bと表すことができます。この式にb!を掛けると、以下のようになります。

$b!e = b! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = b! + \frac{b!}{1!} + \frac{b!}{2!} + \cdots + \frac{b!}{b!} + \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \cdots$

左辺は、$b!e = b!(a/b) = a(b-1)!$となり、自然数になります。一方、右辺は、$b!$から$b!/b!$までの項は全て自然数です。残りの項をNとすると、

$N = \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \cdots = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \cdots$

このNは、以下の不等式を満たします。

$0 < N < \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \frac{1/(b+1)}{1 - 1/(b+1)} = \frac{1}{b}$

bは1以上の自然数なので、0 < N < 1となります。つまり、Nは整数ではありません。

したがって、左辺は整数ですが、右辺は整数ではありません。これは矛盾です。よって、eが有理数であるという仮定は誤りであり、eは無理数であると結論付けられます。

ネイピア数の冪乗の無理性

qを0でない有理数とすると、$e^q$も無理数であることが知られています。これは、リンデマンの定理の特別な場合ですが、独立して比較的容易に証明できます。

参考文献

塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版
ジャン=ポール・ドゥラエ『π――魅惑の数』朝倉書店

これらの書籍には、ネイピア数の無理性の証明に関するより詳細な解説が記載されています。

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