リンデマンの定理

リンデマン=ワイエルシュトラスの定理：超越数の世界への扉

[1882年]]、フェルディナント・フォン・リンデマンによって証明されたリンデマンの定理は、超越数論において極めて重要な定理です。この定理は、後にカール・ワイエルシュトラスによる証明の簡略化を経て、現在では「リンデマン=ワイエルシュトラスの定理」として知られています。この定理は、円周率]や[ネイピア数]といった特別な数が[[超越数であることを示すだけでなく、数学における様々な問題へのアプローチを可能にしました。

定理の主張

リンデマン=ワイエルシュトラスの定理は、複雑な数式で表現されますが、その本質は比較的シンプルに理解できます。

定理は、互いに異なる複数の代数的数（有理数係数の多項方程式の解となる数）を指数としたネイピア数の線形結合について述べています。具体的には、α₁, α₂, ..., αₙ が互いに異なる代数的数であるとき、c₁, c₂, ..., cₙ を代数的数とした場合、

`c₁e^α₁ + c₂e^α₂ + ... + cₙe^αₙ = 0`

となるのは、全ての係数c₁, c₂, ..., cₙが0の場合のみです。言い換えれば、これらのネイピア数の線形結合が0になるためには、全ての係数が0でなければならないのです。

この定理は、一見すると抽象的な数式に見えますが、その帰結は非常に重要です。この定理から、様々な数の超越性が導き出されるのです。

系と特別な数の超越性

リンデマン=ワイエルシュトラスの定理から導かれる重要な系として、0でない代数的数αに対して、e^αが超越数であるという事実があります。この系を用いることで、いくつかの重要な数の超越性を証明することができます。

例えば、α=1とすれば、ネイピア数eの超越性が示されます。また、円周率πの超越性の証明は、背理法によって行われます。πが代数的数であると仮定すると、iπも代数的数となり、系よりe^(iπ)は超越数となります。しかし、オイラーの公式e^(iπ)=-1より、e^(iπ)は-1という代数的数となり、矛盾が生じます。よって、πは超越数であると結論付けられます。

さらに、この定理は、0でも1でもない代数的数βに対してlogβが超越数であること、0でない代数的数θに対してsinθとcosθが超越数であることも示しています。これらの結果は、超越数論における重要な成果です。

歴史と発展

リンデマンの定理の証明は、1873年にシャルル・エルミートがネイピア数eの超越性を示した業績を基盤としています。エルミートは、互いに異なる自然数を指数としたネイピア数の線形結合について考察しました。リンデマンは、この結果を拡張し、自然数を代数数に置き換えることで、より一般的な定理を証明しました。この証明は、円周率πが超越数であること、そして古代ギリシャ以来未解決だった円の正方形化問題が不可能であることを初めて解析的に証明したという点で、数学史に大きな足跡を残しました。

その後、ワイエルシュトラスによる証明の簡略化、そしてヒルベルトらによるさらなる改良が行われ、定理の理解と応用は深まりました。現在でも、この定理のp-進類似やより一般的な拡張であるシャヌエル予想などは未解決の問題として研究されています。リンデマン=ワイエルシュトラスの定理は、超越数論の基礎となる重要な定理であり、数学の様々な分野に影響を与え続けています。

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