ネスビットの不等式

ネスビットの不等式

ネスビットの不等式は、数学者アルフレッド・ネスビットにちなんで名付けられた、正の実数 a, b, c に関する基本的な不等式です。その内容は、次の式によって表されます。

$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2} $$

この不等式において等号が成立するのは、変数 a, b, c の値が全て等しい場合、すなわち `a = b = c` のときに限られます。

数学的な文脈においては、ネスビットの不等式はより一般的なシャピロの不等式（Shapiro's inequality）において、変数の数が3つ（n=3）の場合にあたります。そのシンプルな形の割には、非常に多様な証明方法が存在することが知られており、様々な数学的ツールやテクニックを学ぶ上でしばしば例として取り上げられます。

この不等式を示すための主要な証明方法には、以下のようなものがあります。

平均に関する不等式の利用: 相加調和平均（Arithmetic Mean - Harmonic Mean）の関係式を `a+b`, `b+c`, `c+a` の3つの項に適用し、代数的に整理することでネスビットの不等式を導出する方法があります。また、相加相乗平均（Arithmetic Mean - Geometric Mean）の関係式と、`x=a+b, y=b+c, z=c+a` のような変数変換（ラヴィ変換）を組み合わせて証明することも可能です。
並べ替え不等式: 変数 a, b, c に `a \ge b \ge c` のような順序を仮定すると、それぞれの項の分母の逆数 `1/(b+c)`, `1/(a+c)`, `1/(a+b)` の間にも同様の順序関係が成立します。この2組の数列に対して並べ替え不等式を適用することで、不等式が成り立つことを示せます。
平方和による恒等式: ネスビットの不等式は、左辺から右辺を引いた差が、常に非負である平方項の和として表現できるという恒等式を用いて証明できます。具体的には、
$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)} + \frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} \right) $$
という関係が成り立ちます。右辺は正の実数 a, b, c に対して必ず非負となるため、不等式が成立することが直ちに分かります。このような平方和による表現可能性は、全ての有理不等式が平方和に変換可能であるというヒルベルトの第17問題とも関連する興味深い性質です。
コーシー＝シュワルツの不等式: 適切なベクトル（例: `\langle \sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a} \rangle` と `\langle 1/\sqrt{a+b}, 1/\sqrt{a+c}, 1/\sqrt{c+a} \rangle` など）に対してコーシー＝シュワルツの不等式を適用し、代数的に整理することで証明を完成させる方法です。
Tituの補題: コーシー＝シュワルツの不等式の応用形であるTituの補題（あるいはエンゲルの形）を用いるのも一般的な手法です。特に、`x_k` を全て 1 とし、`a_k` を `b+c, a+c, a+b` とすることで、計算を簡潔に進められます。
斎次性と変数変換: 不等式の左辺は変数 a, b, c に関して3次の斎次式です。この性質を利用し、例えば `a+b+c=1` のように変数の和を1に正規化しても一般性を失わないとして証明を進める方法があります。この際、ラヴィ変換やTituの補題などが組み合わせて使われることがあります。
イェンセンの不等式: 適切な凸関数を利用してイェンセンの不等式を適用することでも証明できます。例えば、`S = a+b+c` と定義し、関数 `f(x) = x/(S-x)` が定義域 `(0, S)` で下に凸であることを示せば、イェンセンの不等式より不等式が導かれます。
直接的な代数変形: ネスビットの不等式は、`2(a^3+b^3+c^3) \ge ab^2+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+bc^2` という三次式の不等式と同値であることが示せます。この新しい不等式は、例えば `x^3+y^3 \ge xy^2+x^2y` のようなより基本的な不等式を適用したり、ムーアヘッドの不等式のようなツールを用いて証明可能です。また、不等式を直接変形して `(a+b)(a-b)^2 + (b+c)(b-c)^2 + (c+a)(c-a)^2 \ge 0` のような、各項が非負であることが見て取れる形に帰着させる方法もあります。

このように、ネスビットの不等式は、数学の基本的な不等式でありながら、代数、解析、ベクトルなど、様々な数学的手法による証明が可能であるという興味深い例です。

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