調和平均

調和平均 (Harmonic Mean)

調和平均とは、数学においてさまざまな平均の一つで、特に比率や割合を扱う場合に適したものです。一般的には、正の実数の集まりに対してその平均を得る際に使われ、逆数の算術平均を求め、その結果の逆数として定義されます。

定義と公式

正の実数の集合 {x₁, x₂, …, xₙ} に対し、調和平均 H は次のように表されます。

$$
H = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n}}}
$$

ここで、nはデータの総数です。例えば、3つの数字 1, 2, 4 の調和平均を計算すると以下のようになります。

$$
H = \frac{3}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{12}{7}
$$

このように、調和平均は通常の算術平均（A）や幾何平均（G）とは異なる特性を持っています。

重み付き調和平均

重み付き調和平均とは、重みが付与されたデータ集合に対する調和平均です。これも次のように定義されます。

$$
H_{w} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}}}
$$

重み付き調和平均は、重みが全て1の場合、通常の調和平均と一致します。これにより、特別なケースでの応用が可能です。

調和平均の位置付け

調和平均は、一般化平均の一種であり、特定のケースとしてパラメータ −1 の場合に該当します。この他に、算術平均（M1）や幾何平均（M0）など、さまざまな平均と位置付けられています。

特に速度の平均を計算する場合には、調和平均が適切です。たとえば、ある距離を時速60 kmで、同じ距離を時速40 kmで走る場合、全体の平均速度は調和平均である時速48 kmになります。一方、算術平均では時速50 kmとなり、誤った値となります。このケースは、調和平均の利用が適切な例です。

他の平均との関係

正の実数のデータ集合に対し、調和[平均]、算術[平均]、幾何[平均] の間には常に以下の関係が成り立ちます。

$$
H ≤ G ≤ A
$$

また、2つの数 x₁, x₂ に対する調和平均は以下のようにも表現されます。

$$
H = \frac{2x_{1}x_{2}}{x_{1} + x_{2}}
$$

この結果から、各数の値が等しい場合、それぞれの平均は等しくなることがわかります。

調和平均の性質「 外れ値への影響」

調和平均は大きい外れ値の影響を和らげ、小さい外れ値の影響を強調する傾向があります。このため、データ集合に何らかの外れ値が含まれる場合、調和平均はより良い代表値となることが多いです。特に、データにゼロまたは負の数が含まれている場合には特別な注意が必要です。

使用例

物理学の分野において、特に速度を計算する際に調和平均が用いられます。たとえば、一定の距離を異なる速度で移動した場合、調和平均が最も適切な計算手法となります。この他にも、電気抵抗を並列に接続する場合、調和平均が適用されます。

また、情報学の分野で評価指標とされるF値は、適合率と再現率の調和平均として利用されます。

まとめ

調和平均は、特に比率や速度を扱う分野で重要な役割を果たします。また、この平均は他の種類の平均よりも特定の条件下での計算において適応性が高く、解析に役立つ強力なツールとなります。これらの特性から、調和平均はさまざまな実務や理論において広く応用されています。

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