ノルム化可能空間

ノルム付け可能な位相線型空間について

位相線型空間において、ノルム付け可能であるという概念は、その空間が特定のノルムによって定義される位相と一致する場合に使われます。この種の空間はノルム化可能線型空間や単にノルム化可能空間と呼ばれ、位相空間論や関数解析の分野で非常に重要な役割を果たします。

定義と性質

具体的には、位相線型空間
(V, T) がノルム化可能であるとは、V 上にあるノルム ‖•‖ が存在し、次の集合が成り立つときに言います：

• - $U_{orall} ε := {v ext{ ∈ V} \,|\, ‖v‖ ≤ ε}$

この集合が位相 T における零ベクトルの基本近傍系を形成する場合、空間はノルム化可能とされます。

ノルム化可能空間の重要な性質のひとつは、それが複数の異なるノルムから位相を生成できる点です。もしノルム ‖•‖a と ‖•‖b が同じ位相を生成するとき、これらのノルムは互いに同値であり、任意の一つを選べば、空間 V はそのノルムに基づくノルム線型空間として機能します。

ノルム付け可能性は以下の操作によって保持されます：

• - ノルム化可能空間の任意の部分空間は再びノルム化可能です。
• - ノルム化可能空間の閉部分空間による任意の商空間もノルム化可能です。
• - ノルム化可能な空間の直積空間がノルム化可能であるための条件は、有限個の例外を除く全ての空間がゼロであることです。
• - 今あるノルム空間の完備化も再びノルム化可能です。

他の空間との関係

ノルム化可能空間には興味深い性質があります。任意のノルム化可能空間はDF空間であり、逆に局所凸位相線型空間が距離化可能DF空間であるとき、ノルム化可能であるといえます。この関係性は、局所凸位相線型空間の強双対が距離化可能であるための必要十分条件が、もとの空間がノルム化可能であることに依存しています。

ノルム化可能性の判定

ノルム化可能性の判定に関しては、コルモゴロフの定理が重要です。これによれば、ハウスドルフ位相線型空間がノルム化可能であるためには、有界凸な零近傍が存在することが条件となります。特に、任意のハウスドルフの局所凸空間が有界な零近傍を持つ場合、それはノルム化可能となります。

したがって、ノルム化可能でない位相線型空間の具体例には、全て局所凸空間でないものが含まれます。例えば、Lp([0, 1]) (0 < p < 1) や、無限次元のモンテル空間などが挙げられます。特に、シュヴァルツ超函数論に登場する試験函数の空間や急減少関数の空間、滑らかな関数の空間なども、ノルム化可能でない空間の例として知られています。

さらに、弱位相 σ を無限次元ノルム空間 E 上で考慮することにより、空間 (E, σ) がノルム化可能であるための条件は、E が有限次元であることとなります。

おわりに

ノルム化可能性は、位相線型空間の理解を深めるために重要な視点を提供します。それにより、数学の様々な分野におけるさらなる研究が期待されています。

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