ノルム

ノルム：ベクトル[[空間]]の距離概念

解析学において、ノルムはベクトル[[空間]]におけるベクトルの「長さ」を一般化した重要な概念です。平面や空間におけるベクトルの長さを拡張し、ベクトル[[空間]]上に距離構造を与えるためのツールとして機能します。ノルムが定義されたベクトル[[空間]]は、線形ノルム空間、あるいは単にノルム空間と呼ばれます。

ノルムは、絶対値や賦値と呼ばれることもあります。また、体の拡大におけるノルムや、多元環に対する被約ノルムとも密接な関係があります。

ノルムの定義

Kを実数体Rまたは複素数体C（あるいは絶対値を備えた任意の位相体）とし、K上のベクトル[[空間]]Vを考えます。このとき、任意のa∈Kと任意のu, v∈Vに対して、以下の3つの条件を満たす関数‖•‖: V → R; x ↦ ‖x‖をVのノルムと呼びます。

1. 独立性: ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0 （ゼロベクトルのみノルムが0）
2. 斉次性: ‖av‖ = |a|‖v‖ （スカラー倍とノルムの関係）
3. 劣加法性: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ （三角不等式）

ベクトル[[空間]]Vとその上のノルム‖•‖の組(V, ‖•‖)をノルム空間と呼びます。多くの場合、‖v‖ ≥ 0（半正定値性）も定義に含まれますが、これは独立性、劣加法性、斉次性から導出可能です。

ノルムの値域は通常実数体Rですが、より一般の順序体や順序群を用いることもあります。離散付値は、有理整数環Zの加法群と同型なアーベル群を値域とするノルムの一種です。

ノルムの定義から独立性を除いたものを半ノルムと呼びます。

様々なノルム

有限次元ベクトルのノルム

実数または複素数の成分を持つベクトルx = (x₁, x₂, …, xₙ) を考えます。|•|を実数または複素数の絶対値とすると、以下のノルムが定義できます。

ユークリッドノルム (2-ノルム): ‖x‖₂ := √(|x₁|² + … + |xₙ|²) これはベクトルの通常の「長さ」に対応します。
最大値ノルム (∞-ノルム): ‖x‖∞ := max{|x₁|, …, |xₙ|} これはベクトルの成分の絶対値の最大値です。
* p-ノルム: ‖x‖ₚ := (|x₁|ᵖ + … + |xₙ|ᵖ)^(1/p) (1 ≤ p < ∞) ユークリッドノルムはp=2の場合です。p→∞の極限は最大値ノルムになります。

特にn=1の場合、‖x‖ₚ = |x|となり、絶対値自身がノルムの例となります。p<1の場合、p-ノルムはノルムの条件を満たしません。

無限次元ベクトル[[空間]]のノルム

数列x = (xₙ)ₙ=1,2,…に対しても、p-ノルム（lᵖ-ノルム）や上限ノルム（l∞-ノルム）が定義できます。関数空間では、積分を用いてp-ノルム（Lᵖ-ノルム）や上限ノルム（L∞-ノルム）を定義します。L∞-ノルムでは、本質的上限（ess sup）を用いるのが一般的です。また、有界線形作用素の作用素ノルムも重要です。

ノルムの構成

既存のノルム空間から新たなノルム空間を構成する方法はいくつかあります。例えば、二つのノルム空間の直積空間、線形写像によるノルムの引き戻し、半ノルムを持つ空間の商空間などが挙げられます。

ノルムの性質

幾何学的性質

ノルムは距離を誘導します。ノルム‖•‖による距離dp(x, y) = ‖x - y‖は、ノルム空間を距離空間とみなすことができます。ノルムが1であるベクトルの集合は単位球面と呼ばれます。ノルム空間は位相線形空間であり、有限次元ノルム空間上のノルムは同値です。

ノルムの同値性

二つのノルムが同じ位相を定める場合、それらは同値です。これは、ある正定数C₁, C₂が存在し、C₁‖x‖ ≤ ‖x‖' ≤ C₂‖x‖が成り立つことと同値です。有限次元ノルム空間では、すべてのノルムは互いに同値です。

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