モンテル空間

モンテル空間

関数解析学や関連する数学分野において、モンテル空間（Montel space）は、特定の優れた位相的性質を持つ線形位相空間の一種です。その名称は、フランスの数学者ポール・モンテル（Paul Montel）に由来しています。特に、関数族の正規族に関するモンテルの古典的な定理に類似した性質を持つことから名付けられました。

より厳密な定義としては、モンテル空間は「閉である有界集合が常にコンパクトであるような樽型空間」と特徴づけられます。ここでいう樽型空間とは、数学的な特定の条件（平衡、吸収的で閉である凸集合である「樽」が、必ず0の近傍となる）を満たす局所凸空間のことです。モンテル空間の定義に含まれる「閉有界集合がコンパクト」という性質は、有限次元ユークリッド空間におけるハイネ・ボレルの定理を無限次元空間に拡張したような強力な性質であり、解析学において様々な恩恵をもたらします。

具体例

モンテル空間の重要な例がいくつか知られています。

1. 正則関数空間：複素解析における古典的なモンテルの定理により、複素平面内の連結開集合上で定義された正則関数全体がなす空間はモンテル空間になります。これは、古典的な定理が関数の族のコンパクト性を保証することと対応しています。

2. テスト関数空間：現代的な応用として、超関数（あるいは分布）の理論において、テスト関数として用いられる空間の多くがモンテル空間です。これは超関数論の基盤をなす重要な事実の一つです。

特に、$\mathbb{R}^n$ の開集合 $\Omega$ 上で定義された滑らかな関数（無限回微分可能関数）全体がなす空間 $C^\infty(\Omega)$ は、適切な位相を入れることでモンテル空間となります。この空間の位相は、各自然数 $k = 0, 1, 2, \ldots$ と各コンパクト部分集合 $K \subset \Omega$ に対して定義される半ノルム
$$ \|f\|_{K,k} = \sup_{|\alpha| \leq k} \sup_{x \in K} |\partial^\alpha f(x)| $$
の族によって定義されます。ここで $\alpha$ は多重指数を表し、$\partial^\alpha f(x)$ は多重指数 $\alpha$ に対応する高階偏微分を表します。この半ノルム族は、関数とその高階導関数がコンパクト集合上で一様に有界であるという条件を捉えています。

同様に、$\Omega$ 上で定義されたコンパクトな台を持つ滑らかな関数全体がなす空間 $C_0^\infty(\Omega)$ も、適切な極限位相を入れることでモンテル空間となります。

さらに、急減少関数全体がなすシュワルツ空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ も、その標準的な位相に関してモンテル空間です。

モンテル空間ではない例

無限次元のバナッハ空間は、一般的にはモンテル空間ではありません。その理由として、無限次元バナッハ空間においては、閉単位球などの閉集合かつ有界な集合が、必ずしもコンパクトにならない（すなわちハイネ・ボレル性が成り立たない）ことが挙げられます。これはモンテル空間の定義における「閉有界集合は必ずコンパクト」という重要な性質と対照的です。

性質

モンテル空間は、関数解析学において非常に扱いやすい性質をいくつか持っています。

モンテル空間の強双対空間（連続線形汎関数全体がなす空間に強位相を入れたもの）もまたモンテル空間になります。これは、超関数の空間（テスト関数空間の双対空間）がモンテル空間の例であることと関連しています。
モンテル空間は必ず回帰的（reflexive）です。つまり、その二重双対空間（双対空間の双対空間）と自然な方法で同型になります。
樽型空間であり、かつ核型（nuclear）であるような局所凸空間で、閉有界集合が完備であるような空間は、モンテル空間であることが知られています。
* フレシェ空間（完備な局所凸空間で、可算個の半ノルム族で位相が定義されるもの）でもあるモンテル空間は、常に可分（separable）になります。さらに、その強双対空間は有界型空間（bornological space）になるという性質も持ちます。

これらの性質は、モンテル空間が解析学における多くの構成や議論に適した、良い振る舞いをする空間のクラスであることを示しています。

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