ハウスドルフ＝ヤングの不等式

数学、特に調和解析の分野において、ハウスドルフ＝ヤングの不等式は、関数の持つ「大きさ」と、そのフーリエ変換（あるいはフーリエ係数）の持つ「大きさ」の関係を示す fundamental な不等式です。この不等式は、周期関数や、より一般には局所コンパクトアーベル群上の関数に対して適用され、元の関数空間のノルムから、そのフーリエ変換像が属する空間のノルムを上から評価するものです。

歴史的には、この不等式はまず特定の状況下でイギリスの数学者ウィリアム・ヘンリー・ヤングによって1913年に示され、その後ドイツの数学者フェリックス・ハウスドルフが1923年にそれを一般的な形へと拡張証明しました。ヤングはフーリエ級数の収束性に関する研究の中でこの評価の初期の形を見出しました。

この不等式の核心は、関数空間 L^p に属する関数を、そのフーリエ係数やフーリエ変換からなる数列空間 ℓ^q または関数空間 L^q に対応させる作用素の有界性にあります。ここで、p と q は 1/p + 1/q = 1 という関係（ヘルダー共役）で結ばれています。

具体的に周期関数 f に対して、そのフーリエ係数 î{f}(n) は次のように定義されます。

$$ \widehat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{-inx} f(x) \, dx, \quad n=0,\pm 1,\pm 2,\dots $$

フーリエ係数の列 {\u00ee{f}(n)} を返す作用素を T と考えます。

まず、p=2 の場合を考えます。パーセバルの定理によれば、関数空間 L² (単位円上の自乗可積分関数全体の空間) に属する関数 f のフーリエ係数列は、数列空間 ℓ² (自乗総和可能な数列全体の空間) に属し、その ℓ² ノルムと元の関数の L² ノルムには ℓ² ノルムが L² ノルムの 1/√{2π} 倍になる関係（または規格化次第で等しくなる関係）があります。これは、T が L² から ℓ² への有界作用素であることを意味します。

次に、p=1 の場合を考えます。フーリエ係数の定義式から直ちに、î{f}(n) の絶対値は、関数 f の L¹ ノルムによって上から評価されます。具体的には |\u00ee{f}(n)| \leq (1/2\pi) ∫ |f(t)| dt = (1/2\pi) ||f||_{L^1} となり、これはフーリエ係数の列が有界（ℓ^∞ に属する）であることを示しています。つまり、T は L¹ から ℓ^∞ への有界作用素です。

関数解析における重要な補間定理であるリース＝ソリンの定理を、これら p=1 (と q=∞) の場合と p=2 (と q=2) の場合に適用すると、その「間」にある 1 < p < 2 の全ての場合についても、対応する q (1/p + 1/q = 1) に対して T が L^p から ℓ^q への有界作用素であることが導かれます。そして、その作用素ノルムは 1 で評価できます。

これにより得られるのが、以下のハウスドルフ＝ヤングの不等式の標準的な形です。

$$ \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\widehat{f}(n)|^{q}\right)^{1/q} \leq \left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} |f(t)|^{p} \, dt\right)^{1/p}, \quad \text{for } 1 < p \leq 2, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $$

この不等式は、1 < p ≤ 2 の範囲で有効です。ここで重要なのは、元の関数がより積分可能性の高い空間（つまり p が小さい空間、L¹ に近い空間）に属していればいるほど、そのフーリエ係数はより早く減衰する（つまり q が大きい空間、ℓ^∞ に近い空間に属する）という性質が定量的に示されている点です。

一方、p > 2 の場合には、この不等式の向きでの直接的な拡張は一般には成り立ちません。L^p に属する関数は、L² にも属しますが、それ以上のフーリエ係数の減衰に関する一般的な情報は、この不等式からは得られないことになります。

この不等式は、単位円上の周期関数だけでなく、ユークリッド空間 Rⁿ 上のフーリエ変換など、より一般的な設定の関数に対しても同様に成立します。このような一般化された設定では、Babenko (1961) や Beckner (1975) によって、不等式の右辺にかかる定数に関する、より精密な、あるいは最適な評価が研究され、バベンコ＝ベックナーの不等式として知られています。

最適な評価に関しては、1 < p ≤ 2 の範囲で、以下のよりシャープな不等式が知られています。

$$ ||\widehat{f}||_{\ell^q} \leq p^{1/2p} q^{-1/2q} ||f||_{L^p} $$

ここで q は p のヘルダー共役です。この最適な定数は、ガウス関数などが極値関数となる場合に達成されます。

ハウスドルフ＝ヤングの不等式とその拡張は、フーリエ解析における様々な問題を解析するための強力なツールであり、特に関数空間論や偏微分方程式論などの分野で広く応用されています。

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