パーセバルの定理

パーセバルの定理とは

パーセバルの定理は、数学における重要な定理の一つで、フーリエ変換がユニタリ変換であるという性質を表現しています。簡単に言うと、ある関数とそのフーリエ変換の間で、エネルギー（またはパワー）が保存されるという関係を表しています。この定理は、フランスの数学者マルク＝アントワーヌ・パーシバルが1799年に発表した級数に関する定理が起源とされ、その後フーリエ級数に応用されるようになりました。また、レイリー卿の名にちなんでレイリーのエネルギー定理とも呼ばれます。

特に物理学や工学分野では、フーリエ変換のユニタリ性を指してパーセバルの定理と呼ぶことが多いですが、より一般的な形はプランシュレルの定理として知られています。

定理の主張

2πを周期とする複素数値関数A(x)とB(x)のフーリエ級数を以下のように表します。

math
A(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{inx}

math
B(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n e^{inx}

このとき、パーセバルの定理は次の式で表されます。

math
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} A(x) \overline{B(x)} dx

ここで、\(i\)は虚数単位、上付きの横棒は複素共役を表します。

特別な場合

- A = B の場合: この場合、以下の式が得られ、フーリエ変換のユニタリ性が導かれます。

math
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |A(x)|^2 dx

- 実数値関数: 関数AとBが実数値の場合、フーリエ係数 \(a_0, b_0\)は実数となり、\(a_{-n} = \overline{a_n}, b_{-n} = \overline{b_n}\)という関係が成り立ちます。このとき、定理は以下のように記述できます。

math
\frac{1}{2}a_0b_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Re(a_n\overline{b_n}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} A(x)B(x) dx

より一般的な表現

可換位相群Gとその双対群\(\hat{G}\)において、パーセバルの定理は、ポントリャーギン・フーリエ変換がヒルベルト空間 \(L^2(G)\)と \(L^2(\hat{G})\)の間のユニタリ作用素であることを示しています。

例えば、

- Gが単位円周Tの場合、\(\hat{G}\)は整数Zとなり、上記の例が当てはまります。
- Gが実数直線Rの場合、\(\hat{G}\)もRとなり、通常のフーリエ変換に対応します。
- Gが巡回群\(Z_n\)の場合、離散フーリエ変換に対応します。

工学や物理学での応用

物理学や工学では、パーセバルの定理は以下のように記述されることが一般的です。

math
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} |X(2\pi f)|^2 df

ここで、\(X(\omega)\)は関数\(x(t)\)のフーリエ変換を表し、\(\omega = 2\pi f\)は角周波数です。

この表現は、信号\(x(t)\)の全エネルギーが、時間領域での積分と周波数領域での積分で等しいことを示しています。この定理は、信号のエネルギー保存則を数学的に表現したものであり、信号処理や周波数解析において非常に重要な役割を果たします。

離散時間信号の場合

離散時間信号においては、以下のようになります。

math
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(\phi)|^2 d\phi

ここで、\(X\)は\(x\)の離散時間[フーリエ変換]、\(\phi\)は角周波数を表します。

離散[フーリエ変換]の場合

離散[フーリエ変換]では、以下のようになります。

math
\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2

ここで、\(X[k]\)は\(x[n]\)のDFTで、どちらも長さNです。

まとめ

パーセバルの定理は、フーリエ変換のユニタリ性を示す基本的な定理であり、関数とそのフーリエ変換の間のエネルギー関係を表現しています。数学的な解析だけでなく、工学や物理学における信号処理、周波数解析など、幅広い分野で不可欠なツールとなっています。

参考文献

- Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
- George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
- Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
- Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
- William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.
- David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

外部リンク

- Parseval's Theorem on Mathworld

[1]映画『グッド・ウィル・ハンティング/旅立ち|グッド・ウィル・ハンティング_旅立ち』で、ランボー・ジェラルドの登場シーンで彼が黒板に書き終えたのがパーセバルの定理であった。

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