バイリニア補間

バイリニア補間

バイリニア補間は、数学における2変数関数の補間手法の一つであり、特に2次元の不規則格子上でサンプリングされたデータに適用されます。この手法は、先に一方向（通常はx方向）で線形補間を行い、その後もう一方向（y方向）で補間を行うことによって、最終的な補間値を導き出します。この過程では、4つの既知の点を基にして未知の点での関数値を推定します。

計算プロセス

バイリニア補間を実行する際には、まず次のように4つの点を用意します。点は以下のように定義され、これらの点における関数値は既知とします：

• - Q11 = (x1, y1)
• - Q12 = (x1, y2)
• - Q21 = (x2, y1)
• - Q22 = (x2, y2)

未知の点 (x, y) における関数値 f の推定を行います。最初にx方向で線形補間を実施し、次にy方向で補間を行います。この際、推定される値は次の式で表されます：

```math
f(x, y1) = rac{x2 - x}{x2 - x1} f(Q11) + rac{x - x1}{x2 - x1} f(Q21)
```

```math
f(x, y2) = rac{x2 - x}{x2 - x1} f(Q12) + rac{x - x1}{x2 - x1} f(Q22)
```

次に、y方向に補間を行うことで最終的な値が求まります。最終的な式は以下の通りです：

```math
f(x, y) = rac{1}{(x2 - x1)(y2 - y1)} egin{bmatrix}x2 - x & x - x1 ext{\}f(Q11) & f(Q12)\f(Q21) & f(Q22) ext{\}y2 - y & y - y1 ext{\}igg]
```

特徴と応用

バイリニア補間の特徴は、位置 (x, y) に対して補間値が線形ではなく、2次関数として扱われる点です。この手法は、特にコンピュータビジョンや画像処理の分野で重要な役割を果たします。画像のリサンプリングにおいて、バイリニア補間はピクセル位置をテクスチャマップ上の対応点にマップし、周囲の4つのテクセルの属性（色など）の加重平均を計算することによって新たなピクセル値を生成します。

画像を拡大する場合、非整数の倍率でリサイズすることから空白のピクセルが生じることがありますが、バイリニア補間はこれらの空白にも適切な輝度値を割り当てることが可能です。最近傍補間やバイキュービック補間といった他の手法とは異なり、特に近接する4つのピクセルの値のみを考慮に入れるため、画像の視覚的な歪みを抑えることができます。

まとめ

このように、バイリニア補間は初期のデータ点から未知のデータ点の推定を行うために極めて有用な手法であり、様々な分野で広く利用されています。その適用は画像処理に留まらず、物理学や工学における多様なモデリングやシミュレーションにも活用されています。

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